[论文解读] Uniform regularity and vanishing viscosity limit for the compressible Navier-Stokes with general Navier-slip boundary conditions in 3-dimensional domains

Yong Wang, Xin Zhouping+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用 3

一句话总结

本论文建立了三维可压缩Navier-Stokes方程在一般Navier滑移边界条件下的统一正则性与消失粘性极限。证明了在与粘性系数ε无关的时间区间内，强解在共形Sobolev空间与$L^∞$空间中一致有界，并展示了向Euler方程收敛的量化速率，表明密度的边界层弱于速度的边界层。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the uniform regularity for the isentropic compressible Navier-Stokes system with general Navier-slip boundary conditions (1.6) and the inviscid limit to the compressible Euler system. It is shown that there exists a unique strong solution of the compressible Navier-Stokes equations with general Navier-slip boundary conditions in an interval of time which is uniform in the vanishing viscosity limit. The solution is uniformly bounded in a conormal Sobolev space and is uniform bounded in $W^{1,\infty}$. It is also shown that the boundary layer for the density is weaker than the one for the velocity field. In particular, it is proved that the velocity will be uniform bounded in $L^\infty(0,T;H^2)$ when the boundary is flat and the Navier-Stokes system is supplemented with the special boundary condition (1.21). Based on such uniform estimates, we prove the convergence of the viscous solutions to the inviscid ones in $L^\infty(0,T;L^2)$, $L^\infty(0,T;H^1)$ and $L^\infty([0,T] imesΩ)$ with a rate of convergence.

研究动机与目标

• 建立三维有界域中一般Navier滑移边界条件下可压缩Navier-Stokes方程的统一正则性。
• 分析消失粘性极限并证明向可压缩Euler方程的收敛性。
• 量化边界层结构，特别是表明密度边界层弱于速度边界层。
• 在与粘性系数$\varepsilon$无关的共形Sobolev空间与$L^\infty$空间中导出统一估计。
• 在$L^\infty(0,T;L^2)$、$L^\infty(0,T;H^1)$与$L^\infty([0,T]\times\Omega)$中建立收敛速率。

提出的方法

• 推导具有普遍Navier滑移边界条件的可压缩Navier-Stokes系统的先验共形能量估计。
• 应用法向导数估计与$L^\infty$-估计，以在$\varepsilon$上一致控制高阶导数。
• 利用边界条件(1.7)的涡度形式以简化能量估计。
• 在边界层分析中采用修正的抛物型正则化与Duhamel原理。
• 对具有变系数的热方程应用加权$L^\infty$估计，以控制边界层结构。
• 在与$\varepsilon$无关的共形Sobolev空间$H^2$与$W^{1,\infty}$中建立先验界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在与粘性无关的条件下，为三维可压缩Navier-Stokes方程在一般Navier滑移边界条件下建立统一正则性估计？
• RQ2 在消失粘性极限下，密度与速度的边界层结构如何？
• RQ3 可压缩Navier-Stokes方程的解是否收敛于具有相同边界条件的Euler方程的解？
• RQ4 在一般Navier滑移条件下，消失粘性极限中的收敛速率为何？
• RQ5 边界条件的选择如何影响在无粘极限下解的正则性与稳定性？

主要发现

• 在与$\varepsilon$无关的时间区间内，可压缩Navier-Stokes方程在一般Navier滑移边界条件下存在唯一强解，且在$L^\infty(0,T;H^2)$与$W^{1,\infty}$中一致有界。
• 解在共形Sobolev空间中一致有界，确保了与粘性无关的正则性。
• 密度的边界层弱于速度场的边界层，表明在边界附近密度的奇性行为更弱。
• 在$L^\infty(0,T;L^2)$、$L^\infty(0,T;H^1)$与$L^\infty([0,T]\times\Omega)$中证明了黏性解向无粘Euler解的收敛性，并给出了量化速率。
• 在平坦边界情况下，当采用特殊边界条件(1.21)时，速度在$L^\infty(0,T;H^2)$中保持一致有界。
• 通过能量估计与解及其导数的加权$L^\infty$界建立了收敛速率。