[论文解读] Uniform sampling in a structured branching population

Aline Marguet|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 5

一句话总结

本文引入一个辅助马尔可夫过程，称为“惩罚”或“辅助”过程，用于刻画在个体特征通过马尔可夫过程演化并影响分裂速率与后代分布的结构化分支种群中，对一个均匀抽样个体的特征。该文建立了 Many-to-One 公式及其在分叉结构中的扩展，证明在大种群极限下，该辅助过程精确描述了典型个体的特征动态，给出了显式的无穷小生成元，并将其应用于生长-分裂模型。

ABSTRACT

We are interested in the dynamic of a structured branching population where the trait of each individual moves according to a Markov process. The rate of division of each individual is a function of its trait and when a branching event occurs, the trait of the descendants at birth depends on the trait of the mother and on the number of descendants. In this article, we explicitly describe the penalized Markov process, named auxiliary process, corresponding to the dynamic of the trait along the spine by giving its associated infinitesimal generator. We prove a Many-to-One formula and a Many-to-One formula for forks. Furthermore, we prove that this auxiliary process characterizes exactly the process of the trait of a uniformly sampled individual in the large population approximation. We detail three examples of growth-fragmentation models: the linear growth model, the exponential growth model and the parasite infection model.

研究动机与目标

• 刻画在个体特征影响分裂与后代分布的大规模结构化分支种群中，对一个均匀抽样个体的特征。
• 识别在非中性分支过程中，种群结构与抽样所引入的偏差。
• 利用辅助过程和 Many-to-One 公式，建立描述特征动态与祖先谱系的严格数学框架。
• 提供辅助过程的显式生成元，并验证其在大种群中近似均匀抽样的有效性。
• 将该框架应用于三种生长-分裂模型：线性、指数和寄生虫感染模型。

提出的方法

• 引入一个辅助过程 $ Y_t^{(t)} $，其具有时变生成元 $ \mathcal{A}_s^{(t)} $，该生成元由原始分支过程的动力学推导而来。
• 推导出无穷小生成元 $ \mathcal{A}_s^{(t)}f(x) = \widehat{\mathcal{G}}_s^{(t)}f(x) + \widehat{B}_s^{(t)}(x) \int_{\mathcal{X}} (f(y) - f(x)) \widehat{P}_s^{(t)}(x,dy) $，其中包含惩罚动力学。
• 建立 Many-to-One 公式：$ \mathbb{E}\left[\sum_{u\in V_t} F(X_s^u, s\leq t)\right] = m(x,0,t) \mathbb{E}\left[F(Y_s^{(t)}, s\leq t)\right] $，将种群层面的求和与辅助过程联系起来。
• 利用单调类定理，将 Many-to-One 公式从简单柱函数扩展到斯科罗霍德空间上所有有界可测函数。
• 将该框架应用于三种生长-分裂模型：线性、指数和寄生虫感染模型，并给出显式生成元推导。
• 证明辅助过程通过经验测度收敛，在大种群极限下精确刻画了均匀抽样个体的特征动态。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大种群极限下，如何从数学上刻画结构化分支种群中均匀抽样个体的特征？
• RQ2 辅助过程在描述均匀抽样个体的祖先谱系中起什么作用？
• RQ3 Many-to-One 公式如何扩展以包含谱系树中的分叉结构？
• RQ4 在时变设置下，辅助过程的无穷小生成元的显式形式是什么？
• RQ5 这些结果如何应用于线性、指数和寄生虫感染等具体生长-分裂模型？

主要发现

• 辅助过程 $ Y_t^{(t)} $，具有时变生成元 $ \mathcal{A}_s^{(t)} $，在大种群极限下精确刻画了均匀抽样个体的特征。
• Many-to-One 公式成立：$ \mathbb{E}\left[\sum_{u\in V_t} F(X_s^u, s\leq t)\right] = m(x,0,t) \mathbb{E}\left[F(Y_s^{(t)}, s\leq t)\right] $，将种群层面的泛函与辅助过程联系起来。
• 辅助过程的无穷小生成元被显式推导为 $ \mathcal{A}_s^{(t)}f(x) = \widehat{\mathcal{G}}_s^{(t)}f(x) + \widehat{B}_s^{(t)}(x) \int_{\mathcal{X}} (f(y) - f(x)) \widehat{P}_s^{(t)}(x,dy) $。
• 该辅助过程考虑了种群结构与大小偏差抽样带来的偏差，惩罚项反映了种群的增长速率。
• 该框架在三种模型上得到验证：线性生长、指数生长和寄生虫感染，提供了显式的生成元表达式。
• 在大种群近似下，经验测度 $ Z_t = \sum_{u\in V_t} \delta_{X_t^u} $ 收敛于辅助过程的分布。