[论文解读] Uniform spanning forest on the integer lattice with drift in one coordinate.

Martínez Dibene|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用 1

一句话总结

本文研究了在整数格点 ℤ^{d+1} 上带有漂移诱导导纳的均匀生成树森林（USF），其中导纳定义为 c((n,x),(n',x')) = e^{λ max(n,n')}（λ > 0）。尽管导纳无界，本文证明了走失USF与自由USF测度一致，并表明当 d = 1,2 时USF为单棵树，而当 d ≥ 3 时由无限多棵单端树组成，且分量连通性遵循 d−2 的幂律衰减。

ABSTRACT

The purpose of this thesis is to investigate the Uniform Spanning Forest (USF) in the nearestneighbour integer lattice Z^{d+1} = ZxZ^d with the family of conductances c((n, x), (n', x')) = e^{λ max(n,n')}, for all (n, x) ~ (n', x'), where ~ stands here for adjacency of vertices and λ > 0 is a fixed parameter. The random walk corresponding to this assignment of conductances resembles a discrete version of Brownian motion with drift. These conductances are not bounded, neither from below nor from above. This entails that many results known in the literature are not applicable. Our results include: 1. Estimate, up to multiplicative constants, the Green's function of this network. 2. Both the Wired and Free uniform spanning forest measures coincide for these assignment of conductances via a coupling argument. Call USF the resulting measure. 3. For d = 1; 2 we will show that USF consists of a tree; for d ≥ 3; it consists of infinitely many infinite trees. 4. For every d; every component of USF is one-ended. 5. For d ≥ 3; there exists a metric η on Z^{d+1} such that the probability that z, z' belong to the same USF-component is bounded above and below by multiplicative constants of η(z - z')^{-(d-2)}: The upper bound is then generalised to the probability that all the vertices in a finite set should belong to the same component. 6. Collapse every tree in USF to a point and denote by D(z, z') the number of edges that separate the USF-components at z and z': Almost surely, D(z, z') = U+2308 (d-2)/4 U+2309

研究动机与目标

• 分析在某一坐标方向上诱导漂移的导纳下，ℤ^{d+1} 上均匀生成树森林（USF）的结构。
• 克服无界导纳带来的挑战，这些挑战使得文献中的标准结果失效。
• 确定在此导纳模型下，走失USF与自由USF测度是否一致。
• 根据维度 d，表征USF分量的数量与几何结构。
• 推导顶点属于同一USF分量的概率的定量界，特别是当 d ≥ 3 时。

提出的方法

• 通过耦合论证证明在给定导纳分配下，走失USF与自由USF测度一致。
• 尽管导纳无界，仍估计网络格林函数至多相差一个乘性常数。
• 应用随机控制与比较技术，分析USF中分量结构与连通性。
• 在 ℤ^{d+1} 上定义度量 η，以量化分量连通性概率的衰减，表明其按 η(z−z')^{-(d−2)} 的速率衰减，其中 d ≥ 3。
• 引入分离数 D(z,z')，用于统计在 z 与 z' 处USF分量之间的边数分离，计算其几乎必然值。
• 通过依赖维度的分析，证明无论 d 为何值，每个USF分量均为单端。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℤ^{d+1} 上，对于导纳 c((n,x),(n',x')) = e^{λ max(n,n')}，走失与自由均匀生成树森林测度是否一致？
• RQ2 维度 d 如何影响在此导纳模型下USF分量的数量与结构？
• RQ3 两个顶点 z 与 z' 属于同一USF分量的概率的渐近衰减速率为何？
• RQ4 分离数 D(z,z')（统计 z 与 z' 处USF分量之间边的分离数）的几乎必然值是多少？
• RQ5 所有USF分量是否均为单端，与维度 d 无关？

主要发现

• 通过耦合论证，走失与自由USF测度一致，从而支持使用单一USF测度。
• 当 d = 1 与 d = 2 时，USF由一棵无限树构成；当 d ≥ 3 时，USF由无限多棵无限树构成。
• 无论维度 d 为何，USF的每个分量均为单端。
• 当 d ≥ 3 时，两个顶点 z 与 z' 属于同一USF分量的概率，上下界均与 η(z−z')^{-(d−2)} 成乘性常数关系，其中 η 为合适的度量。
• 有限集合中所有顶点属于同一USF分量的概率，其上界为 η-度量下直径的 (d−2) 次方的常数倍。
• 几乎必然地，对所有 z, z' ∈ ℤ^{d+1}，分离数 D(z,z') 等于 ⌈(d−2)/4⌉。