[论文解读] Uniform spectral properties of one-dimensional quasicrystals, II. The Lyapunov exponent

David Damanik, Daniel Lenz|ArXiv.org|May 16, 1999

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 13被引用 10

一句话总结

该论文通过分析转移矩阵，建立了具有Sturmian势的一维准晶的均匀谱性质，证明了对于所有无理旋转数，其谱上Lyapunov指数均匀消失。此外，进一步建立了复平面上Lyapunov指数的均匀存在性，以及在有界连分数展开情况下的转移矩阵增长的多项式界，结果在Fibonacci准晶中具有完全适用性。

ABSTRACT

In this paper we introduce a method that allows one to prove uniform local results for one-dimensional discrete Schrödinger operators with Sturmian potentials. We apply this method to the transfer matrices in order to study the Lyapunov exponent and the growth rate of eigenfunctions. This gives uniform vanishing of the Lyapunov exponent on the spectrum for all irrational rotation numbers. For irrational rotation numbers with bounded continued fraction expansion, it gives uniform existence of the Lyapunov exponent on the whole complex plane. Moreover, it yields uniform polynomial upper bounds on the growth rate of transfer matrices for irrational rotation numbers with bounded density. In particular, all our results apply to the Fibonacci case.

研究动机与目标

• 建立一维离散Schrödinger算子在Sturmian势下的均匀局部结果。
• 通过转移矩阵方法分析Lyapunov指数与本征函数增长速率。
• 将均匀谱性质扩展至具有有界连分数展开的无理旋转数。
• 为具有有界密度的准晶提供转移矩阵增长的均匀界。
• 确认结果在典型Fibonacci准晶模型中的适用性。

提出的方法

• 提出一种新方法，以在一维准晶中推导转移矩阵的均匀结果。
• 将该方法应用于通过转移矩阵的谱分析研究Lyapunov指数。
• 利用Sturmian序列与旋转数的性质分析谱行为。
• 采用有界连分数展开，以确保复平面上Lyapunov指数的均匀性。
• 利用密度条件推导转移矩阵增长速率的多项式上界。
• 将该框架具体应用于Fibonacci序列，作为准晶的典型例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维准晶中，对于所有无理旋转数，Lyapunov指数是否在谱上均匀消失？
• RQ2 对于具有有界连分数展开的Sturmian势，Lyapunov指数是否能在整个复平面上均匀定义？
• RQ3 此类系统中转移矩阵的均匀增长界是什么？
• RQ4 这些结果如何应用于Fibonacci准晶模型？
• RQ5 能否使用转移矩阵技术为非周期势建立均匀谱性质？

主要发现

• 在一维准晶中，对于所有无理旋转数，具有Sturmian势的系统在谱上Lyapunov指数均匀消失。
• 对于具有有界连分数展开的无理旋转数，Lyapunov指数在复平面整个区域均匀存在。
• 对于具有有界密度的无理旋转数，转移矩阵增长速率的多项式上界被均匀建立。
• 所有结果均具有均匀有效性，并可直接应用于Fibonacci准晶，这是准晶物理中的关键模型。
• 该方法实现了均匀局部分析，克服了非周期系统中常见的非均匀性问题。
• 该框架为一维准晶谱分析提供了一套系统方法，超越了Fibonacci情形。