[论文解读] Uniform structures on differential spaces

Diana Dziewa-Dawidczyk, Zbigniew Pasternak-Winiarski|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文通过其微分结构的生成元族，建立了一套在微分流形上定义一致结构的框架。它引入了‘一致完备化’的概念，并展示了微分结构如何能连续地延拓至空间的完备化，通过将空间嵌入生成元的乘积空间，自然地扩展了光滑函数。

ABSTRACT

The uniform structure on a differential space defined by a family of generators is considered.

研究动机与目标

• 通过其微分结构的生成元族，定义微分流形上的一致结构。
• 研究配备此类一致结构的微分流形的完备化。
• 从子集到其拓扑完备化的连续延拓微分结构理论。
• 建立子集上微分结构可延拓至更大拓扑空间的条件。

提出的方法

• 通过使所有生成元连续的最弱拓扑，利用生成元族在微分流形上定义一致结构。
• 将一致空间的完备化构造为最小柯西滤子的集合，并赋予其典范一致结构。
• 证明：相对于由函数族生成的一致结构，微分流形的完备化，与生成元嵌入到乘积空间 R^F 中的像的闭包一致同胚。
• 证明：由 R^F 上光滑函数诱导的完备化上的微分结构，自然地连续延拓了原始结构在稠密子空间上的结构。
• 使用标准的一致完备化构造，将微分流形嵌入到一个完备的一致空间中。
• 证明：完备化上扩展的结构关于由一致结构诱导的拓扑是连续的。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从微分流形的生成元族，自然地定义其上的一致结构？
• RQ2 此类一致结构下微分流形的完备化与生成元嵌入下其像的闭包之间有何关系？
• RQ3 在何种条件下，子集上的微分结构可连续延拓至其拓扑完备化？
• RQ4 由生成元诱导的一致结构的微分流形完备化，是否自然地装备有延拓原始微分结构的微分结构？
• RQ5 不同的生成元族是否可能导致同一微分流形的非同构完备化？

主要发现

• 由一族 F 生成的微分流形上的一致结构，是使 F 中所有函数连续的最弱拓扑，且在该空间上诱导出一个一致结构。
• 相对于由一族 F 生成的一致结构，微分流形的完备化，与生成元嵌入 φ_F 到乘积空间 R^F 中的像的闭包一致同胚。
• 由 R^F 上光滑函数诱导的完备化上的微分结构，为原始微分结构从稠密子空间到完备化的自然连续延拓。
• 完备化过程保持了微分结构：即完备化上扩展的结构在光滑复合与局部化下是封闭的。
• 对于配备标准光滑结构的实直线 R，由恒等函数诱导的完备化是 R 本身，而由 arctan(x) 诱导的完备化则等同于区间 [−π/2, π/2]，表明不同生成元族可导致非同构的完备化。
• 子集 M 上的微分结构可延拓至拓扑空间 N，当且仅当存在 N 上的微分结构，其限制在 M 上可恢复 M 上的原始结构。