[论文解读] Uniform subspace correction preconditioners for discontinuous Galerkin methods with $hp$-refinement

Will Pazner, Tzanio Kolev|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 63被引用 13

一句话总结

本文提出了一种针对高阶不连续伽辽金（DG）方法与hp型超细化的新型子空间校正预条件子，结合了适用于协调子空间的矩阵自由低阶超细化预条件子与基于边的非协调子空间。该方法实现了与网格尺寸 $h$、多项式阶数 $p$ 及罚参数 $η$ 无关的条件数，从而在高度非均匀和不规则的网格上实现了对病态DG系统的鲁棒迭代求解。

ABSTRACT

In this paper, we develop subspace correction preconditioners for discontinuous Galerkin (DG) discretizations of elliptic problems with $hp$-refinement. These preconditioners are based on the decomposition of the DG finite element space into a conforming subspace, and a set of small nonconforming edge spaces. The conforming subspace is preconditioned using a matrix-free low-order refined technique, which in this work we extend to the $hp$-refinement context using a variational restriction approach. The condition number of the resulting linear system is independent of the granularity of the mesh $h$, and the degree of polynomial approximation $p$. The method is amenable to use with meshes of any degree of irregularity and arbitrary distribution of polynomial degrees. Numerical examples are shown on several test cases involving adaptively and randomly refined meshes, using both the symmetric interior penalty method and the second method of Bassi and Rebay (BR2).

研究动机与目标

• 解决由hp型超细化不连续伽辽金离散化产生的病态线性系统求解挑战。
• 开发一种对高度不规则网格和任意多项式阶数分布均有效的预条件子。
• 确保条件数对网格尺寸 $h$、多项式阶数 $p$ 和罚参数 $\eta$ 的鲁棒性。
• 通过变分限制方法，将矩阵自由低阶超细化预条件子扩展至hp型超细化背景。
• 利用加性Schwarz方法实现高效迭代求解，并在自适应和随机超细化网格上实现最优收敛速率。

提出的方法

• 将DG有限元空间分解为一个协调子空间和多个基于边的非协调子空间。
• 对协调子空间应用矩阵自由低阶超细化预条件子，利用变分限制算子将高阶问题映射至低阶问题。
• 在基于Gauss–Lobatto节点定义的边子空间上使用块雅可比松弛法，其设计针对网格不规则性与多项式分布特性。
• 将整体预条件子构造为粗空间预条件子与边子空间松弛法之和，形成一种子空间校正方法。
• 在加性Schwarz框架内分析该方法，证明其条件数与 $h$、$p$ 和 $\eta$ 无关。
• 实现一种实用算法，基于网格与多项式阶数的不规则性生成子空间分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有通用hp型超细化的DG方法构造一种子空间校正预条件子，使其收敛性保持与 $h$、$p$ 和 $\eta$ 无关？
• RQ2 如何将矩阵自由低阶超细化预条件子扩展至具有可变多项式阶数与悬挂节点的hp型超细化背景？
• RQ3 网格不规则性与可变多项式阶数分布对预条件系统性能与条件数有何影响？
• RQ4 与标准代数多重网格法（AMG）及简化对角预条件子相比，所提出的预条件子在迭代次数与鲁棒性方面表现如何？
• RQ5 该预条件子能否在其他DG格式（如BR2）中保持统一收敛性，该类格式使用不同的稳定化项？

主要发现

• 理论上证明并数值验证了预条件系统条件数与网格尺寸 $h$、多项式阶数 $p$ 及罚参数 $\eta$ 无关。
• 共轭梯度法的迭代次数在均匀超细化下几乎保持恒定，即使网格尺寸增大，也表明其具有鲁棒性。
• 在随机超细化网格上，迭代次数随网格不规则性略有增加，但当网格限制为1-不规则性时，仍保持有界。
• 边子空间 $V_e$ 的维数随网格不规则性增长，但其规模可控且适合并行处理。
• 与BoomerAMG及简化对角预条件子相比，该预条件子表现更优，尤其在大罚参数 $\eta$ 时，后两者性能显著下降。
• 数值结果证实，该预条件子在对称内罚（SIPDG）与BR2格式中均表现鲁棒，且在所有测试参数范围内均保持统一收敛性。