[论文解读] Uniformization with infinitesimally metric measures

Kai Rajala, Martti Rasimus+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文通过使用测度 μ 变形曲线长度，在与 ℝ² 同胚的度量曲面上引入 μ-拟共形映射，证明若 μ 为一个无穷小度量测度——满足 David-Semmes 度量加倍条件的无穷小区件版本——则存在从 X 到 ℝ² 或单位圆盘的 μ-拟共形映射。其主要贡献在于为缺乏经典几何结构的分形类曲面提出了一项新的统一化定理。

ABSTRACT

We consider extensions of quasiconformal maps and the uniformization theorem to the setting of metric spaces $X$ homeomorphic to $\mathbb R^2$. Given a measure $μ$ on such a space, we introduce $μ$-quasiconformal maps $f:X o \mathbb R^2$, whose definition involves deforming lengths of curves by $μ$. We show that if $μ$ is an infinitesimally metric measure, i.e., it satisfies an infinitesimal version of the metric doubling measure condition of David and Semmes, then such a $μ$-quasiconformal map exists. We apply this result to give a characterization of the metric spaces admitting an infinitesimally quasisymmetric parametrization.

研究动机与目标

• 将拟共形统一化方法推广至不具有局部有限 Hausdorff 2-测度或可求长路径的、与 ℝ² 同胚的度量空间。
• 定义一类新的 μ-拟共形映射，通过测度 μ 变形曲线长度，推广经典拟共形性。
• 通过结合额外的几何条件，刻画可进行无穷小拟对称参数化的度量空间。
• 通过引入依赖于测度的模框架，克服经典共形模方法在分形曲面上的失效。

提出的方法

• 通过测度 μ 加权曲线的 μ-长度，定义 μ-拟共形映射，其中长度在定义域空间 X 上加权。
• 在 X 中引入曲线族的 μ-模，将其与 ℝ² 中像的共形模进行比较。
• 使用 μ 将原始度量 d 变形为新度量 q，使得 (X, q) 具有局部有限的 Hausdorff 2-测度。
• 应用文献 [14] 中的统一化定理，得到一个从 (X, q) 到 ℝ² 的拟共形映射，再与恒等映射复合，得到 μ-拟共形映射。
• 使用无穷小度量测度的概念——即满足 David-Semmes 度量加倍条件的无穷小区件版本——以确保此类变形的存在性。
• 通过结合定理 1.1 与推广自文献 [11] 的模估计，建立无穷小拟对称参数化的刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将拟共形统一化方法扩展至非 Ahlfors 正则或不支持可求长路径的度量曲面？
• RQ2 在与 ℝ² 同胚的度量曲面 X 上，何种测度 μ 的条件可保证存在到 ℝ² 的 μ-拟共形映射？
• RQ3 无穷小度量测度的概念与无穷小拟对称参数化存在性之间有何关系？
• RQ4 能否通过测度论性质与几何性质刻画度量拟共形性在反演下失效的情形？
• RQ5 当局部 2-正则性不成立时（即使 Hausdorff 2-测度是局部有限的），统一化的极限是什么？

主要发现

• 若 X 是与 ℝ² 同胚的度量空间，并支持一个无穷小度量测度 μ，则存在一个 μ-拟共形映射 f: X → Ω，其中 Ω 为 ℝ² 或单位圆盘。
• 通过将 X 上的度量 d 变形为新度量 q，使得 (X, q) 具有局部有限的 Hausdorff 2-测度，可保证 μ-拟共形映射的存在性。
• 存在一个无穷小拟对称映射 f: X → Ω 当且仅当 X 是无穷小区件线性局部连通的，并且支持一个无穷小度量测度 μ，使得 (X, μ) 是无穷小区件 Loewner 的。
• 修改后的 β-Grushin 平面（β ∈ (0, 1/2)）支持一个具有局部有限 Hausdorff 2-测度的度量，但在竖直轴上每一点均违反无穷小区件上 2-正则性。
• 尽管从欧氏平面到修改后的 β-Grushin 平面的恒等映射在反向是 1-拟共形的，但不存在从欧氏平面到该平面的度量拟共形映射。
• 从修改后的 β-Grushin 平面到 ℝ² 的恒等映射是 1-拟共形的，但在反向不存在 MQC 映射，这是由于拟共形可移除性在逆映射下失效。