[论文解读] Uniformly accurate numerical schemes for highly oscillatory Klein-Gordon and nonlinear Schrödinger equations

Philippe Chartier, Nicolas Crouseilles+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2013

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过引入一种分离快慢时间动力的双尺度公式，提出了高度振荡的克莱因-戈登方程和非线性薛定谔方程的统一精确（UA）数值格式。该方法通过将解嵌入到双变量函数 $U^\varepsilon(t,\tau)$ 中，避免了网格或时间步长的细化，从而在所有参数区间——非振荡、中间和高度振荡——中保持统一精度，且不依赖渐近模型，无论 $\varepsilon$ 取值如何，其精度阶数均得以保持。关键贡献在于提出了一种对所有 $\varepsilon \in (0,\varepsilon_0]$ 均有效的鲁棒、统一收敛的格式。该方法通过双尺度框架下的Chapman-Enskog型展开实现，即使当 $\varepsilon$ 不很小时，也能确保稳定性和精度。

ABSTRACT

This work is devoted to the numerical simulation of nonlinear Schrödinger and Klein-Gordon equations. We present a general strategy to construct numerical schemes which are uniformly accurate with respect to the oscillation frequency. This is a stronger feature than the usual so called "Asymptotic preserving" property, the last being also satisfied by our scheme in the highly oscillatory limit. Our strategy enables to simulate the oscillatory problem without using any mesh or time step refinement, and the orders of our schemes are preserved uniformly in all regimes. In other words, since our numerical method is not based on the derivation and the simulation of asymptotic models, it works in the regime where the solution does not oscillate rapidly, in the highly oscillatory limit regime, and in the intermediate regime with the same order of accuracy. In the same spirit as in [5], the method is based on two main ingredients. First, we embed our problem in a suitable "two-scal" reformulation with the introduction of an additional variable. Then a link is made with classical strategies based on Chapman-Enskog expansions in kinetic theory despite the dispersive context of the targeted equations, allowing to separate the fast time scale from the slow one. Uniformly accurate (UA) schemes are eventually derived from this new formulation and their properties and performances are assessed both theoretically and numerically.

研究动机与目标

• 开发在所有振荡频率 $\varepsilon$ 下均保持统一精度的数值格式，包括非振荡、中间和高度振荡区间。
• 克服标准格式的局限性，后者要求 $\Delta t \lesssim \varepsilon^{q/p}$ 才能保证精度，而当 $\varepsilon \to 0$ 时该条件变得不切实际。
• 构建不依赖渐近模型或其截断误差的统一精确（UA）格式。
• 确保精度阶数在 $\varepsilon$ 上均匀保持，即使 $\varepsilon$ 不很小。
• 提供一种渐近保持（AP）的框架，同时在所有区间（包括AP格式可能失效的中间区间）保持统一收敛。

提出的方法

• 通过引入辅助变量 $\tau = t/\varepsilon$，将原方程嵌入双尺度公式，定义 $U^\varepsilon(t,\tau)$ 使得 $u^\varepsilon(t) = U^\varepsilon(t, t/\varepsilon)$。
• 将原方程重写为 $(t,\tau)$ 上的双曲型PDE：$\partial_t U^\varepsilon + \frac{1}{\varepsilon} \partial_\tau U^\varepsilon = \mathcal{F}(t,\tau, U^\varepsilon)$，从而实现快慢动力的分离。
• 在双尺度系统上应用形式上的Chapman-Enskog展开，将解分解为慢分量和快分量，实现关于 $\varepsilon$ 的渐近展开。
• 通过时间分裂或Runge-Kutta方法近似展开后的系统，构造统一精确（UA）格式，同时尊重双尺度结构并保持在 $\varepsilon$ 上的精度阶数统一。
• 对双尺度系统中的初始数据进行二阶或三阶校正，以确保全局误差的统一收敛性，尤其在存在高频分量时。
• 在非线性克莱因-戈登方程和非线性薛定谔方程上对方法进行数值验证，比较不同 $\varepsilon$ 和 $\Delta t$ 下的 $H^1$ 范数误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出在所有振荡参数 $\varepsilon$ 值下（包括 $\varepsilon$ 不很小的情况）均保持统一精度的数值格式？
• RQ2 如何利用双尺度公式在不推导渐近模型的前提下，解耦高度振荡PDE中的快慢时间动力？
• RQ3 双尺度系统中初始数据的校正确对全局误差统一性有何影响？
• RQ4 所提方法是否能在中间区间（$\varepsilon$ 既不大也不很小）保持精度阶数的统一性，即使 $\varepsilon$ 不很小？
• RQ5 尽管缺乏类似动力学的结构，双尺度框架下的Chapman-Enskog型展开是否可用于色散方程中推导统一精确格式？

主要发现

• 所提出的统一精确（UA）格式在所有 $\varepsilon \in (0,\varepsilon_0]$ 区间内均保持其精度阶数，包括非振荡（$\varepsilon \sim 1$）、中间和高度振荡（$\varepsilon \to 0$）情形。
• 数值实验表明，当双尺度系统中的初始数据校正至二阶或三阶时，$H^1$ 相对误差在 $\varepsilon$ 上保持均匀；若不进行校正，则误差显著恶化。
• 对于二阶UA格式，当初始数据校正至三阶时，误差在所有 $\varepsilon$ 值下均保持关于 $\varepsilon$ 的有界性，且误差量级为 $\mathcal{O}(\Delta t^2)$。
• 若使用未经校正的初始数据，误差在 $\varepsilon$ 上变得不均匀，尤其在 $\varepsilon$ 较小时更为明显，表明初始数据校正是实现统一收敛性的关键。
• 对 $x$ 方向傅里叶模态的时间演化分析表明，高阶初始数据校正可有效抑制 $U(t,\tau=0,x)$ 中的高频分量，与理论预期一致：仅当 $k \geq 1$ 时，$\mathcal{O}(\varepsilon^k)$ 的模态保持振荡。
• 通过UA格式计算的数值解在斯托波斯科珀点 $t_k = 2\pi k \varepsilon$ 处与参考解（使用Strang分裂法计算）一致，验证了双尺度公式的自洽性。