[论文解读] Uniformly bounded multiplicities, polynomial identities and coisotropic actions

Masatoshi Kitagawa|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2021

Advanced Algebra and Geometry参考文献 45被引用 4

一句话总结

本文通过多项式恒等式（PI次数）与共变体作用，建立了实半单李群表示中均匀有界重数的刻画。证明了普遍包络代数的不变子代数的PI次数控制了限制与诱导表示中重数的均匀有界性，从而解决了T. Kobayashi关于单位最高权模中重数均匀有界的猜想。

ABSTRACT

Let $G_{\mathbb{R}}$ be a real reductive Lie group and $G'_{\mathbb{R}}$ a reductive subgroup of $G_{\mathbb{R}}$ such that $\mathfrak{g'}$ is algebraic in $\mathfrak{g}$. In this paper, we consider restrictions of irreducible representations of $G_{\mathbb{R}}$ to $G'_{\mathbb{R}}$ and induced representations of irreducible representations of $G'_{\mathbb{R}}$ to $G_{\mathbb{R}}$. Our main concern is when such a representation has uniformly bounded multiplicities, i.e. the multiplicities in the representation are (essentially) bounded. We give characterizations of the uniform boundedness by polynomial identities and coisotropic actions. For the restriction of (cohomologically) parabolically induced representations, we find a sufficient condition for the uniform boundedness by spherical actions and some fiber condition. This result gives an affirmative answer to a conjecture by T. Kobayashi. Our results can be applied to $(\mathfrak{g}, K)$-modules, Casselman--Wallach representations, unitary representations and objects in the BGG category $\mathcal{O}$. We also treat with an upper bound of cohomological multiplicities.

研究动机与目标

• 刻画实半单李群的无穷维表示的限制与诱导表示在何种条件下具有均匀有界重数。
• 通过代数与几何时不变量，将球对称空间的经典刻画推广至无穷维表示。
• 解决T. Kobayashi关于单位最高权模中重数均匀有界的猜想。
• 通过PI次数与共变体几何，统一研究$({\frak g},K)$-模、Casselman–Wallach表示与单位表示中的重数问题。

提出的方法

• 将普遍包络代数的不变子代数的PI次数作为关键代数不变量，用于控制重数。
• 应用余切丛上的共变体作用作为几何不变量，以刻画有界重数的表示。
• 运用Casselman–Wallach表示理论与光滑诱导表示分析重数界。
• 依赖于$\mathcal{U}({\frak g})/I$的PI次数与同态空间维数之间的等价性，推导出重数界。
• 利用$\mathrm{Hom}_{G'_{\mathbb{R}}}(\mathcal{H}^\infty, \mathcal{C}_{G'_{\mathbb{R}}})$通过PI次数控制重数界这一事实。
• 应用定理10.24于可分、核化表示，将PI次数与限制和诱导中的重数界联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$G_{\mathbb{R}}$的不可约单位表示关于$G'_{\mathbb{R}}$的限制具有均匀有界重数？
• RQ2 $ (\mathcal{U}({\frak g})/I)^{G'_{\mathbb{R}}} $的PI次数如何与单位表示限制中的重数界相关？
• RQ3 在齐次空间余切丛上的共变体作用能否刻画重数的均匀有界性？
• RQ4 当$ (\mathcal{U}({\frak g})/I\mathcal{U}({\frak g}))^{G'_{\mathbb{R}}} $具有有限PI次数时，诱导表示$L^2\text{-Ind}^{G_{\mathbb{R}}}_{G'_{\mathbb{R}}}({\mathcal{H}}')$是否具有均匀有界重数？
• RQ5 $ (\mathcal{U}({\frak g})/I)^{G'_{\mathbb{R}}} $的交换性是否为单位表示限制中重数为零的必要条件？

主要发现

• $ (\mathcal{U}({\frak g})/I)^{G'_{\mathbb{R}}} $的PI次数为$G_{\mathbb{R}}$的单位表示$\mathcal{H}$的限制中重数提供了上界。
• 重数$\mathcal{M}_{G'_{\mathbb{R}}}(\mathcal{H})$的上界由$\mathrm{Hom}_{G'_{\mathbb{R}}}(\mathcal{H}^\infty, \mathcal{C}_{G'_{\mathbb{R}}})$的维数给出，而该维数本身受PI次数的常数倍有界。
• 若限制$\mathcal{H}|_{G'_{\mathbb{R}}}$为重数为零，则$ (\mathcal{U}({\frak g})/I)^{G'_{\mathbb{R}}} $必为交换代数。
• 对于诱导表示，$L^2\text{-Ind}^{G_{\mathbb{R}}}_{G'_{\mathbb{R}}}({\mathcal{H}}')$的重数均匀有界当且仅当$ (\mathcal{U}({\frak g})/I\mathcal{U}({\frak g}))^{G'_{\mathbb{R}}} $的PI次数为有限。
• 诱导表示$L^2\text{-Ind}^{G_{\mathbb{R}}}_{G'_{\mathbb{R}}}({\mathcal{H}}')$仅当$ (\mathcal{U}({\frak g})/I\mathcal{U}({\frak g}))^{G'_{\mathbb{R}}} $为交换代数时才为重数为零。
• 本结果对$({\frak g},K)$-模、Casselman–Wallach表示与单位表示均适用，建立了有界重数问题的广泛框架。