[论文解读] Uniformly convex spiral functions and uniformly spirallike function associated with Pascal distribution series

G. Murugusundaramoorthy, Basem Aref Frasin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2020

Analytic and geometric function theory参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文研究了帕斯卡分布级数及其相关函数属于一致螺旋型与一致凸螺旋型函数类的必要与充分条件，采用Hadamard积与系数估计方法。主要贡献在于推导出涉及参数 $\alpha$、$\beta$、$q$ 和 $m$ 的显式不等式，这些不等式决定了其在 $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$ 与 $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$ 中的隶属关系，特别关注由帕斯卡分布导出的函数及其积分变换的性质。

ABSTRACT

The aim of this paper is to find the necessary and sufficient conditions and inclusion relations for Pascal distribution series to be in the classes SP_{p}(α,\b{eta}) and UCV_{p}(α,\b{eta}) of uniformly spirallike functions. Further, we consider properties of a special function related to Pascal distribution series. Several corollaries and consequences of the main results are also considered.

研究动机与目标

• 确定帕斯卡分布级数属于一致螺旋型与一致凸螺旋型函数类 $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$ 与 $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$ 的必要与充分条件。
• 考察帕斯卡分布级数与具有有界边界旋转的解析函数类 $\mathcal{R}^\tau(A,B)$ 之间的包含关系。
• 分析积分变换 $\mathcal{G}_q^m(z) = \int_0^z \frac{\Phi_q^m(t)}{t} dt$ 的性质及其在相同函数类中的隶属关系。
• 通过系数估计与不等式，建立广义帕斯卡级数与已知单芽函数子类之间的联系。

提出的方法

• 利用单位圆内帕斯卡分布级数 $\Psi_q^m(z)$ 与解析函数的Hadamard积（卷积）。
• 应用引理1.2与1.3中的系数条件，通过无穷级数不等式刻画其在 $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$ 与 $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$ 中的隶属关系。
• 利用来自类 $\mathcal{R}^\tau(A,B)$ 的系数界 $|a_n| \leq (A-B)|\tau|/n$，推导出包含关系的充分条件。
• 通过生成函数恒等式与二项式定理，推导出涉及二项式系数与 $q$ 的幂的和的闭式表达式。
• 将问题转化为验证涉及 $\binom{n+m-2}{m-1} q^{n-1} (1-q)^m$ 的级数收敛性，并将其与含 $\cos\alpha$ 与 $\beta$ 的阈值进行比较。
• 使用积分变换定义 $\mathcal{G}_q^m(z)$，并应用相同的系数准则以确定其在函数类中的隶属关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $\alpha$、$\beta$、$q$ 与 $m$ 条件下，帕斯卡分布级数 $\Phi_q^m(z)$ 属于类 $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$？
• RQ2 当函数 $f \in \mathcal{R}^\tau(A,B)$ 时，其Hadamard积 $\mathcal{I}_q^m f(z)$ 何时属于类 $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$？
• RQ3 积分变换 $\mathcal{G}_q^m(z)$ 属于 $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$ 的精确条件是什么？
• RQ4 当 $\beta = 0$ 时，即退化为经典一致螺旋型与一致凸螺旋型类时，包含关系结果如何变化？
• RQ5 帕斯卡分布级数与类 $\mathcal{R}^\tau(A,B)$ 在系数约束方面存在何种关系？

主要发现

• 函数 $\Phi_q^m(z)$ 属于 $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$ 当且仅当不等式 $\frac{2q m}{1-q} + (2 - \cos\alpha - \beta)[1 - (1-q)^m] \leq \cos\alpha - \beta$ 成立。
• 函数 $\Phi_q^m(z)$ 属于 $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$ 当且仅当 $$ \frac{2q^2 m(m+1)}{(1-q)^2} + (6 - \cos\alpha - \beta)\frac{q m}{1-q} + (2 - \cos\alpha - \beta)[1 - (1-q)^m] \leq \cos\alpha - \beta $$ 成立。
• 若 $f \in \mathcal{R}^\tau(A,B)$，则 $\mathcal{I}_q^m f \in \mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$ 当且仅当 $$ (A-B)|\tau|\left(\frac{2q m}{1-q} + (2 - \cos\alpha - \beta)[1 - (1-q)^m]\right) \leq \cos\alpha - \beta $$ 成立。
• 积分变换 $\mathcal{G}_q^m(z)$ 属于 $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$ 当且仅当与 $\Phi_q^m(z)$ 属于 $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$ 的同一不等式成立，但此时 $\beta = 0$。
• 当 $m > 1$ 时，$\mathcal{G}_q^m(z) \in \mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$ 当且仅当 $$ 2[1 - (1-q)^m] - \frac{\cos\alpha + \beta}{q(m-1)}[(1-q) - (1-q)^m - q(m-1)(1-q)^m] \leq \cos\alpha - \beta $$ 成立。
• 当 $\beta = 0$ 时，条件简化为 $\frac{2q m}{1-q} + (2 - \cos\alpha)[1 - (1-q)^m] \leq \cos\alpha$，以保证 $\Phi_q^m(z) \in \mathcal{TSP}_p(\alpha)$，其他类亦有类似形式。