[论文解读] Uniformly distributed sequences of p-adic integers, II

Vladimir Anashin|ArXiv.org|Sep 30, 2002

advanced mathematical theories参考文献 10被引用 41

一句话总结

本文使用显式公式和算术与按位运算的复合，表征了在 p-进整数环 ℤₚ 上（特别是 p=2 时）的遍历函数与保测度函数。研究结果表明，此类函数可生成模 m 下严格周期、均匀分布且周期长度恰好为 m 的序列，从而实现具有最优统计特性与低线性复杂度的高质量伪随机数生成器。

ABSTRACT

The paper describes ergodic (with respect to the Haar measure) functions in the class of all functions, which are defined on (and take values in) the ring of p-adic integers, and which satisfy (at least, locally) Lipschitz condition with coefficient 1. Equiprobable (in particular, measure-preserving) functions of this class are described also. In some cases (and especially for p=2) the descriptions are given by explicit formulae. Some of the results may be viewed as descriptions of ergodic isometric dynamical systems on p-adic unit disk. The study was motivated by the problem of pseudorandom number generation for computer simulation and cryptography. From this view the paper describes nonlinear congruential pseudorandom generators modulo M which produce stricly periodic uniformly distributed sequences modulo M with maximal possible period length (i.e., exactly M). Both the state change function and the output function of these generators could be, e.g., meromorphic functions (in particular, polynomials with rational, but not necessarily integer coefficients, or rational functions), or compositions of arithmetical operations (like addition, multiplication, exponentiation, raising to integer powers, including negative ones) with standard computer operations, such as bitwise logical operations (XOR, OR, AND, etc.). The linear complexity of the produced sequences is also studied.

研究动机与目标

• 识别并描述满足常数为 1 的利普希茨条件的 ℤₚ 上的遍历函数与保测度函数。
• 构建模 m 的非线性同余生成器，使其生成严格周期、均匀分布且周期长度恰好为 m 的序列。
• 通过算术与按位运算（例如异或、与、或）实现实际的伪随机数生成器，保持高统计质量与低线性复杂度。
• 通过使用等概率输出函数，解决二进制生成器中的“低位效应”问题。

提出的方法

• 利用 p-进 Weierstrass 定理，证明在 ℚ[x] 上定义的函数模 m 会诱导出等价的生成器。
• 应用 ℤ₂ 上传递函数与遍历函数的结果，通过按位逻辑运算与有理系数多项式构造生成器。
• 使用幂运算、求逆与标准计算机运算（例如异或、左移右移）的复合，定义状态转移函数。
• 推导出函数在所有 k 下模 2^k 传递的显式条件，从而确保最大周期长度。
• 表征等概率（保测度）函数，以消除二进制生成器中“低位效应”的影响。
• 应用非阿基米德动力系统的结果，描述 p-进单位圆盘上等距遍历系统的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些满足利普希茨常数为 1 的函数 f: ℤₚ → ℤₚ 是关于 ℤₚ 上 Haar 测度的遍历函数？
• RQ2 如何构造模 m 的非线性同余生成器，使其生成周期长度恰好为 m 的均匀分布序列？
• RQ3 哪些函数类（尤其是涉及按位运算的函数）在 ℤ₂ 上产生传递与保测度的动力系统？
• RQ4 等概率函数如何消除模 2^k 生成的伪随机序列中的“低位效应”？
• RQ5 关于多项式生成器的结果在多大程度上可推广至有理系数函数或复合函数（如 f(x) = 1 + x + (1 + 200x)^{-1}）？

主要发现

• 当 p=2 时，所有 ℤ₂ 上的遍历与保测度函数均有显式公式，可直接用于构建高质量伪随机数生成器。
• 函数如 f(x) = 1 + x + (1 + 200x)^{-1} 对所有 k ≥ 1 满足模 10^k 的传递性，确保最大周期长度 m = 10^k。
• 基于此类函数的生成器可生成模 m 下均匀分布且周期恰好为 m 的序列，满足最强的均匀性标准。
• 使用等概率输出函数可在保持均匀分布的同时消除“低位效应”，即低位比特呈现更短周期的问题。
• 所生成序列的线性复杂度有界，且通常较低，适用于密码学与模拟应用。
• 本文证明，有理系数多项式与按位运算（如异或、与）的复合可在模 2^k 下产生传递动力系统，从而实现高效且安全的实现。