[论文解读] Uniformly gamma-radonifying families of operators and and the stochastic Weiss conjecture

Bernhard H. Haak, Jan van Neerven|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2006

Advanced Banach Space Theory参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文引入了均匀 γ-拉东化算子族的概念，统一了 R-有界性和 γ-拉东化，并将该框架应用于随机 Weiss 猜想。研究证明，对于随机柯西问题 dU(t) = AU(t)dt + B dW_H(t)，在 Banach 空间中存在不变测度当且仅当族 {√λR(λ,A)B : λ ∈ S_ϑ} 对某个 0 < ϑ < π/2 是均匀 γ-拉东化的，从而在具有有限 cotype 的 Banach 空间中为随机 Weiss 猜想提供了部分解。

ABSTRACT

We introduce the notion of uniform gamma-radonification of a family of operators, which unifies the notions of R-boundedness of a family of operators and gamma-radonification of an individual operator. We study the the properties of uniformly gamma-radonifying families of operators in detail and apply our results to the stochastic abstract Cauchy problem $dU(t) = AU(t) dt + B dW(t); U(0) = 0$ Here, $A$ is the generator of a strongly continuous semigroup of operators on a Banach space $E$, $B$ is a bounded linear operator from a separable Hilbert space $H$ into $E$, and $W$ is an $H$-cylindrical Brownian motion. When $A$ and $B$ are simultaneously diagonalisable, we prove that an invariant measure exists if and only if the family $ \{\sqrtλ R(λ, A)B : λ&gt; 0\} $ is uniformly gamma-radonifying. This result can be viewed as a partial solution of a stochastic version of the Weiss conjecture in linear systems theory.

研究动机与目标

• 通过均匀 γ-拉东化算子族的概念，统一 R-有界性与 γ-拉东化。
• 在 Banach 空间中建立随机演化方程不变测度存在的必要与充分条件。
• 在具有有限 cotype 的 UMD 空间背景下，为随机 Weiss 猜想提供部分解。
• 将随机积分与拉普拉斯变换的理论扩展到 Banach 空间设定下的算子族。

提出的方法

• 引入算子族均匀 γ-拉东化的概念，推广了单个算子的 R-有界性与 γ-拉东化。
• 分析均匀 γ-拉东化族的性质，包括在复合与收敛下的稳定性。
• 将该理论应用于 γ-拉东化算子的拉普拉斯变换，证明在复平面上的半平面与扇形区域中具有均匀 γ-拉东化。
• 利用拉普拉斯变换框架刻画预解族 {√λR(λ,A)B} 的 γ-拉东化范数。
• 建立不变测度存在性与扇形域中预解族均匀 γ-拉东化之间的等价性。
• 证明在 A 与 B 同时可对角化时，均匀 γ-拉东化蕴含 (−A)^{−1/2}B 的 γ-拉东化，从而支持随机 Weiss 猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，族 {√λR(λ,A)B : λ ∈ S_ϑ} 对某个 0 < ϑ < π/2 是均匀 γ-拉东化的？
• RQ2 随机柯西问题 dU(t) = AU(t)dt + B dW_H(t) 在具有有限 cotype 的 Banach 空间 E 中何时存在不变测度？
• RQ3 {√λR(λ,A)B} 的均匀 γ-拉东化是否等价于 (−A)^{−1/2}B 是 γ-拉东化的？
• RQ4 能否通过扇形域中预解族的均匀 γ-拉东化来解决随机 Weiss 猜想？
• RQ5 H^∞-演算与有限 cotype 在确保 γ-拉东化与不变测度存在性中起什么作用？

主要发现

• 在 A 与 B 同时可对角化的假设下，族 {√λR(λ,A)B : λ ∈ S_ϑ} 是均匀 γ-拉东化的当且仅当随机柯西问题存在不变测度。
• 对任意 0 < ϑ < π/2，均匀 γ-拉东化范数满足 ‖𝒯_ϑ‖_unif-γ ≤ C_{A,B} / cos ϑ，其中 C_{A,B} 仅依赖于 A 与 B。
• 在随机 Weiss 猜想中，(c) ⇒ (b) 的蕴含关系——即均匀 γ-拉东化蕴含 (−A)^{−1/2}B 是 γ-拉东化——仍为开放问题，已提供 100 欧元奖金以解决该问题。
• 当 A 与 B 同时可对角化时，{√λR(λ,A)B} 的均匀 γ-拉东化蕴含级数 ∑ₖ γₖ λₖ^{−1/2} βₖ xₖ 在 E 中收敛，从而证明 (−A)^{−1/2}B ∈ γ(H,E)。
• 预解族的拉普拉斯变换可延拓为 ℂ₊ 上取值于 γ(H,E) 的解析函数，且在任意满足 0 < ϑ < π/2 的扇形区域 S_ϑ 中，该族是均匀 γ-拉东化的。
• 该结果将经典 Weiss 猜想推广至随机情形，给出了以 Banach 空间中算子族表示的不变测度存在的必要与充分条件。