[论文解读] Unifying incidence and prevalence under a time-varying general branching process

Mikko S. Pakkanen, Xenia Miscouridou+6 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2021

COVID-19 epidemiological studies被引用 4

一句话总结

本文通过时变一般分支过程，统一了传染病模型中的发病率与患病率，将Crump–Mode–Jagers框架扩展至允许时变基本再生数和世代间隔。推导出与反向计算关系一致的发病率、累积发病率和患病率的积分方程，并在特定情况下恢复标准更新方程，从而实现从发病率和血清患病率数据中联合估计传播动态。

ABSTRACT

Renewal equations are a popular approach used in modelling the number of new infections, i.e., incidence, in an outbreak. We develop a stochastic model of an outbreak based on a time-varying variant of the Crump-Mode-Jagers branching process. This model accommodates a time-varying reproduction number and a time-varying distribution for the generation interval. We then derive renewal-like integral equations for incidence, cumulative incidence and prevalence under this model. We show that the equations for incidence and prevalence are consistent with the so-called back-calculation relationship. We analyse two particular cases of these integral equations, one that arises from a Bellman-Harris process and one that arises from an inhomogeneous Poisson process model of transmission. We also show that the incidence integral equations that arise from both of these specific models agree with the renewal equation used ubiquitously in infectious disease modelling. We present a numerical discretisation scheme to solve these equations, and use this scheme to estimate rates of transmission from serological prevalence of SARS-CoV-2 in the UK and historical incidence data on Influenza, Measles, SARS and Smallpox.

研究动机与目标

• 在单一随机框架下统一发病率与患病率的建模，确保这些关键流行病学指标之间的一致性。
• 将经典更新方程扩展至可容纳时变基本再生数和非指数分布的世代间隔。
• 为基于个体的分支过程与更新方程等控制方程之间提供数学上严谨的理论基础。
• 实现通过发病率和患病率数据（如SARS-CoV-2研究中的血清患病率）联合推断传播动态。
• 开发一种数值高效的离散化方案，以实际求解推导出的积分方程。

提出的方法

• 基于Crump–Mode–Jagers框架，构建时变一般分支过程，允许随机感染时间与时变传播率。
• 利用分支过程的一阶与二阶矩，推导出发病率、累积发病率和患病率的积分方程。
• 通过反向计算关系建立发病率与患病率之间的一致性，确保时间上的自洽性。
• 将该框架应用于两种具体情形：年龄依赖的Bellman–Harris过程，以及传播过程的非齐次泊松过程模型。
• 利用矩阵代数开发一种数值离散化方案，以高效求解二维积分方程。
• 通过验证发现，当初始感染时间固定时，发病率方程退化为标准更新方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过单一随机分支过程框架，一致地建模发病率与患病率，同时容纳时变传播动态？
• RQ2 推导出的发病率与患病率的积分方程与流行病学中常用的经典反向计算方法有何关系？
• RQ3 Bellman–Harris过程与非齐次泊松过程模型的发病率方程在多大程度上能恢复标准更新方程？
• RQ4 该框架能否如实际应用所示，联合估计来自发病率与血清患病率数据的传播率？
• RQ5 与标准一维更新方程相比，求解更一般的二维积分方程在计算上是否可行？

主要发现

• 推导出的发病率与患病率的积分方程在数学上与反向计算关系一致，确保了观测到的与推断出的传播动态之间的一致性。
• Bellman–Harris过程与非齐次泊松过程模型的发病率方程在初始感染时间固定时，均退化为标准更新方程，验证了其与既有模型的一致性。
• 该框架成功容纳了时变基本再生数与非指数分布的世代间隔，相较于标准更新模型具有更高的生物学现实性。
• 数值模拟显示，蒙特卡洛平均值与理论均值高度一致，证实了所推导方程的准确性。
• 所提出的离散化方案可利用标准矩阵运算高效求解一般积分方程，使该方法在计算上可行，尽管其通用性更强。
• 该方法可实现从发病率与血清患病率数据中联合估计传播率，已在SARS-CoV-2、流感、麻疹、SARS和天花等实际应用中得到验证。