[论文解读] Unimodular random planar graphs are sofic

Ádám Timár|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文证明了每个具有有限期望度的单模随机平面图都是sofic的，这意味着它可作为有限图序列的局部弱极限而出现。通过将此类图分解为以树状结构连接的单模有限或单端分量，并建立其在平面上的单模组合嵌入，作者将问题简化为单端情形，此时soficity可由Angel、Hutchcroft、Nachmias与Ray关于单连通单模平面图的结果推出。

ABSTRACT

We prove that if a unimodular random graph is almost surely planar and has finite expected degree, then it is sofic, that is, there is a sequence of finite graphs that converges to it in the local weak sense. First we prove that every unimodular random graph has a unimodular decomposition into finite or 1-ended subgraphs, connected by finite sets of edges in a tree-like fashion. This reduces the problem of soficity to the one-ended case. Then we show that every unimodular planar graph has a unimodular combinatorial embedding in the plane. The one-ended case then follows by a theorem of Angel, Hutchcroft, Nachmias and Ray \cite{AHNR}, who showed that every {\it simply connected} unimodular random planar {\it map} of finite expected degree is sofic. Our unimodular embedding also implies that all the dichotomy results of \cite{AHNR} about unimodular maps extend to unimodular planar graphs.

研究动机与目标

• 建立具有有限期望度的单模随机平面图的soficity。
• 开发此类图的单模分解，将其分解为以树状方式连接的有限或单端子图。
• 构建单模平面图在平面上的单模组合嵌入。
• 将单模平面图映射的二分性结果推广至单模平面图。

提出的方法

• 引入单模随机图向有限或单端子图的单模分解，这些子图通过有限边集以树状结构连接。
• 证明此类分解保持单模性，并将soficity问题简化为单端情形。
• 建立任意单模平面图在平面上的单模组合嵌入的存在性。
• 利用Angel、Hutchcroft、Nachmias与Ray的结果，即具有有限期望度的单连通单模平面图是sofic的。
• 应用单模嵌入，将他们的二分性结果推广至单模平面图。
• 利用局部弱收敛框架，得出原始图类的soficity结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有有限期望度的单模随机平面图是否都能作为有限图序列的局部弱极限实现？
• RQ2 每个单模平面图是否都存在一个在平面上的单模组合嵌入？
• RQ3 单模分解为有限或单端分量如何促进soficity的证明？
• RQ4 单模平面图映射的二分性结果在多大程度上可推广至单模平面图？
• RQ5 单模平面图的soficity在单模树状分解下是否保持不变？

主要发现

• 每个具有有限期望度的单模随机平面图都是sofic的，即它是有限图序列的局部弱极限。
• 每个单模随机图都存在一个单模分解，将其分解为通过有限边集以树状结构连接的有限或单端子图。
• 每个单模平面图都存在一个在平面上的单模组合嵌入。
• 通过单模分解将soficity问题简化为单端情形，从而确立了单模平面图的soficity。
• 由于单模嵌入的存在，Angel、Hutchcroft、Nachmias与Ray关于单模平面图映射的二分性结果可推广至单模平面图。
• 单模嵌入确保了平面图映射的结构特性在图设定下得以保持，从而实现了结果的转移。