[论文解读] Unintegrated gluon distributions from the transverse coordinate representation of the CCFM equation in the single loop approximation

J. Kwieciǹski|ArXiv.org|Mar 18, 2002

Particle physics theoretical and experimental studies被引用 3

一句话总结

本文在单圈近似下，通过横向坐标表示的CCFM方程，给出了非积分胶子分布的精确解析解。通过应用傅里叶-贝塞尔变换对角化方程，推导出时刻函数 $ f_\omega(b,Q) $ 的精确表达式，进而用于分析和验证非积分与积分胶子分布之间的近似关系，结果在横向动量边界区域之外表现出良好一致性。

ABSTRACT

We utilise the fact that the CCFM equation in the single loop approximation can be diagonalised by the Fourier-Bessel transform. The analytic solution of the CCFM equation for the moments $f_ω(b,Q)$ of the scale dependent gluon distribution is obtained, where $b$ is the transverse coordinate conjugate to the transverse momentum of the gluon. The unintegrated gluon distributions obtained from this solution are analysed. It is shown how the approximate treatment of the exact solution makes it possible to express the unintegrated gluon distributions in terms of the integrated ones. The corresponding approximate expressions for the unintegrated gluon distribution are compared with exact solution of the CCFM equation in the single loop approximation.

研究动机与目标

• 在单圈近似下，利用横向坐标表示，解析求解CCFM方程。
• 通过傅里叶-贝塞尔变换，从精确解中推导出非积分胶子分布。
• 在DGLAP区域中，检验并验证非积分与积分胶子分布之间近似公式的合理性。
• 在数值上将精确解与近似表达式进行比较，特别关注 $ x \geq 0.01 $ 的物理相关区域。

提出的方法

• 通过傅里叶-贝塞尔变换将CCFM方程转换到横向坐标空间，使方程在单圈近似下对角化。
• 在横向坐标空间中，解析求解时刻函数 $ f_\omega(b,Q) $，其中 $ b $ 是与横向动量 $ Q_t $ 共轭的变量。
• 通过时刻函数的逆傅里叶-贝塞尔变换重建非积分胶子分布。
• 将解与基于DGLAP动力学导出的近似表达式进行比较，特别是那些将 $ f(x,Q_t,Q) $ 与积分胶子分布 $ g(x,Q^2) $ 关联的公式。
• 使用输入的非微扰分布 $ \bar{f}^0(x,b) = \frac{g_0(x)}{2} \exp(-b^2 q_0^2 / 4) $ 生成数值结果，其中 $ g_0(x) = 3(1-x)^5 $ 且 $ q_0 = 1\,\text{GeV} $。
• 通过在不同 $ x $ 和 $ Q_t $ 值下与精确解比较，评估近似公式的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单圈近似下，是否可以利用傅里叶-贝塞尔变换在横向坐标空间中精确求解CCFM方程？
• RQ2 基于DGLAP演化的非积分胶子分布近似公式，如何从精确解中导出？
• RQ3 这些近似公式在不同 $ x $ 和 $ Q_t $ 下与精确解相比的定量精度如何？
• RQ4 在精确解表现出非平凡行为的边界区域 $ Q_t^2 \sim Q_0^2 $ 和 $ Q_t^2 \sim Q^2 $ 附近，近似公式的性能如何？

主要发现

• 在单圈近似下，通过傅里叶-贝塞尔变换，CCFM方程在横向坐标空间中可被精确求解，得到时刻函数 $ f_\omega(b,Q) $ 的解析表达式。
• 精确解使得通过逆傅里叶-贝塞尔变换推导非积分胶子分布成为可能，为近似模型提供了严格的基准。
• 公式 (36) 作为一种改进的近似形式，与精确解的符合程度优于简单公式 (34)，尤其在中间 $ Q_t $ 范围内表现更优。
• 公式 (34) 在小 $ Q_t $ 时提供合理近似，但在 $ x \sim 0.1 $ 较大且 $ Q_t^2 $ 较大时可能产生非物理的负值。
• 近似公式 (36) 在除端点区域 $ Q_t^2 \sim Q_0^2 $ 和 $ Q_t^2 \sim Q^2 $ 外表现良好，该区域精确解显示出非平凡行为。
• 本研究证实，横向坐标表示是理解单圈近似下CCFM方程的有力工具，其应用潜力可能超越此近似范围。