[论文解读] Unipotent representations of real classical groups

Jia-Jun Ma, Binyong Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文通过θ提升构造了实经典群（正交群、辛群或其四元数类比）的全部单连通表示，这些表示与特定的幂零轨道相关联，并证明了它们的酉性。对于固定的奇偶性 $\mathbb{p}$，定义了一组稳定平凡的特殊幂零轨道，并证明了由此类轨道产生的单连通表示是酉的，当适用时可推广至挠覆盖（metaplectic covers）。

ABSTRACT

Let $\mathbf G$ be a complex orthogonal or complex symplectic group, and let $G$ be a real form of $\mathbf G$, namely $G$ is a real orthogonal group, a real symplectic group, a quaternionic orthogonal group, or a quaternionic symplectic group. For a fixed parity $\mathbb p\in \mathbb Z/2\mathbb Z$, we define a set $\mathrm{Nil}^{\mathbb p}_{\mathbf G}(\mathfrak g)$ of nilpotent $\mathbf G$-orbits in $\mathfrak g$ (the Lie algebra of $\mathbf G$). When $\mathbb p$ is the parity of the dimension of the standard module of $\mathbf G$, this is the set of the stably trivial special nilpotent orbits, which includes all rigid special nilpotent orbits. For each $\mathcal O \in \mathrm{Nil}^{\mathbb p}_{\mathbf G}(\mathfrak g)$, we construct all unipotent representations of $G$ (or its metaplectic cover when $G$ is a real symplectic group and $\mathbb p$ is odd) attached to $\mathcal O$ via the method of theta lifting and show in particular that they are unitary.

研究动机与目标

• 基于固定的奇偶性 $\mathbb{p} \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，在复经典群的李代数中定义一组稳定平凡且特殊的幂零轨道的规范集合。
• 对复正交或辛群的实形式 $G$ 的所有单连通表示进行分类，这些表示与这些幂零轨道相关联。
• 利用θ提升方法建立这些单连通表示的酉性。
• 当 $G$ 是实辛群且 $\mathbb{p}$ 为奇数时，将构造推广至其挠覆盖。

提出的方法

• 基于奇偶性 $\mathbb{p} \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，定义李代数 $\mathfrak{g}$ 中关于群 $\mathbf{G}$ 的幂零 $\mathbf{G}$-轨道集合 $\mathrm{Nil}^{\mathbb{p}}_{\mathbf{G}}(\mathfrak{g})$。
• 当 $\mathbb{p}$ 与标准模维数的奇偶性一致时，将 $\mathrm{Nil}^{\mathbb{p}}_{\mathbf{G}}(\mathfrak{g})$ 识别为稳定平凡的特殊幂零轨道集合。
• 应用θ提升方法，从这些轨道构造 $G$（或其挠覆盖）的单连通表示。
• 利用θ对应中对偶对对应结构，确保所构造的表示是酉的。
• 当 $G$ 是实辛群且 $\mathbb{p}$ 为奇数时，通过提升至挠覆盖处理该情形。
• 通过θ对应性质验证所有与 $\mathrm{Nil}^{\mathbb{p}}_{\mathbf{G}}(\mathfrak{g})$ 中轨道相关联的单连通表示均为酉表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 在复经典群的李代数中，哪些幂零轨道对应于给定奇偶性 $\mathbb{p}$ 下的稳定平凡特殊轨道？
• RQ2 如何系统地从这些幂零轨道构造实经典群的单连通表示？
• RQ3 当 $G$ 是实辛群且 $\mathbb{p}$ 为奇数时，挠覆盖在单连通表示构造中起到什么作用？
• RQ4 所有与 $\mathrm{Nil}^{\mathbb{p}}_{\mathbf{G}}(\mathfrak{g})$ 相关的单连通表示是否都是酉的？
• RQ5 奇偶性 $\mathbb{p}$ 与单连通表示结构之间存在何种关系？

主要发现

• 当 $\mathbb{p}$ 为标准模维数的奇偶性时，集合 $\mathrm{Nil}^{\mathbb{p}}_{\mathbf{G}}(\mathfrak{g})$ 由稳定平凡的特殊幂零轨道构成。
• 所有与 $\mathrm{Nil}^{\mathbb{p}}_{\mathbf{G}}(\mathfrak{g})$ 中轨道相关联的 $G$ 的单连通表示均通过θ提升构造。
• 所构造的单连通表示是酉的，这由θ对应的酉性性质保证。
• 当 $G$ 是实辛群且 $\mathbb{p}$ 为奇数时，构造可推广至 $G$ 的挠覆盖。
• 该方法统一地生成了与指定幂零轨道相关联的所有单连通表示。
• 该构造为实经典群中给定幂零轨道的单连通表示提供了完整分类。