[论文解读] Unique determination of coefficients and kernel in nonlocal porous medium equations with absorption term

Yi‐Hsuan Lin, Philipp Zimmermann|arXiv (Cornell University)|May 25, 2023

Numerical methods in inverse problems被引用 4

一句话总结

该论文从部分Dirichlet-to-Neumann映射唯一确定了非局部多孔介质方程中吸收项 $\rho\partial_t u + L_K(u^m) + qu = 0$ ($m>1$) 的系数 $\rho$、$q$ 和核 $K$。通过使用Galerkin方法证明存在性、比较原理以及在唯一延拓性质下的渐近分析，论文在一致椭圆性和正则性假设下，证明了DN映射唯一确定 $\rho$、$K$ 和 $q$，包括对分数阶电导率算子的情形。

ABSTRACT

The main purpose of this article is the study of an inverse problem for nonlocal porous medium equations (NPMEs) with a linear absorption term. More concretely, we show that under certain assumptions on the time-independent coefficients $ρ,q$ and the time-independent kernel $K$ of the nonlocal operator $L_K$, the (partial) Dirichlet-to-Neumann map uniquely determines the three quantities $(ρ,K,q)$ in the nonlocal porous medium equation $ρ\partial_tu+L_K(u^m)+qu=0$, where $m>1$. In the first part of this work we adapt the Galerkin method to prove existence and uniqueness of nonnegative, bounded solutions to the homogenoeus NPME with regular initial and exterior conditions. Additionally, a comparison principle for solutions of the NPME is proved, whenever they can be approximated by sufficiently regular functions like the one constructed for the homogeneous NPME. These results are then used in the second part to prove the unique determination of the coefficients $(ρ,K,q)$ in the inverse problem. Finally, we show that the assumptions on the nonlocal operator $L_K$ in our main theorem are satisfied by the fractional conductivity operator $\mathcal{L}_γ$, whose kernel is $γ^{1/2}(x)γ^{1/2}(y)/|x-y|^{n+2s}$ up to a normalization constant.

研究动机与目标

• 解决在具有吸收项的拟线性非局部PDE中识别未知系数和非局部核的反问题。
• 从部分边界测量出发，建立非局部多孔介质方程中系数 $\rho$、$K$ 和 $q$ 的唯一性。
• 将反问题技术从线性非局部算子推广至具有吸收项的拟线性方程。
• 验证非局部算子的假设对分数阶电导率算子 $\mathcal{L}_\gamma$ 成立。

提出的方法

• 将Galerkin方法应用于证明在具有正则初始数据和外部数据条件下，齐次非局部多孔介质方程的非负有界解的存在性与唯一性。
• 在通过足够正则函数逼近的条件下，建立解的比较原理。
• 引入积分时间变换以分析解在初始时刻附近的渐近行为。
• 应用渐近分析，从Dirichlet-to-Neumann映射中提取关于系数的信息。
• 利用唯一延拓原理和Runge逼近性质，将DN映射与未知系数联系起来。
• 验证分数阶电导率算子 $\mathcal{L}_\gamma$（其核为 $K(x,y) = C_{n,s} \gamma^{1/2}(x)\gamma^{1/2}(y)$）满足对 $K$ 所需的假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从部分Dirichlet-to-Neumann映射唯一确定具有吸收项的非局部多孔介质方程中系数 $\rho$、$q$ 和核 $K$？
• RQ2 当解通过正则函数逼近时，非局部多孔介质方程的解是否满足比较原理？
• RQ3 在本反问题背景下，唯一延拓原理是否适用于非局部算子 $L_K$？
• RQ4 对 $K$ 的假设是否对分数阶电导率算子 $\mathcal{L}_\gamma$ 成立？
• RQ5 在给定的正则性和椭圆性条件下，DN映射是否能唯一确定 $\rho$、$K$ 和 $q$？

主要发现

• 部分Dirichlet-to-Neumann映射唯一确定了非局部多孔介质方程中吸收项的时不变系数 $\rho$、$q$ 和非局部算子 $L_K$ 的核 $K$。
• 在具有正则初始数据和外部数据的条件下，通过Galerkin方法建立了齐次非局部多孔介质方程的非负有界解的存在性与唯一性。
• 对于可被足够正则函数逼近的解，证明了比较原理，从而实现了对次解与超解的比较。
• 变换后解的渐近分析表明，当时间趋近于零时，DN映射编码了关于 $\rho$、$K$ 和 $q$ 的信息。
• 非局部算子 $L_K$ 的假设被分数阶电导率算子 $\mathcal{L}_\gamma$ 满足，其核为 $K(x,y) = C_{n,s} \gamma^{1/2}(x)\gamma^{1/2}(y)$，其中 $\gamma$ 为一致椭圆函数。
• 唯一延拓原理被用作基础工具，以确保DN映射能确定完整的系数结构，尤其在缺乏额外对称性假设的情况下。