[论文解读] Uniqueness and non-uniqueness of steady states of aggregation-diffusion equations

Matías G. Delgadino, Xukai Yan+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2019

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 50被引用 4

一句话总结

该论文为具有退化扩散的聚集-扩散方程中稳态解的唯一性确立了一个精确的临界阈值。当扩散指数 $ m \geq 2 $ 时，对于任意给定的质量，稳态解是唯一的；当 $ 1 < m < 2 $ 时，对于某些光滑的吸引势，存在无穷多个径向递减的稳态解，通过一种新颖的插值曲线证明了相互作用能量的凸性，从而解决了长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We consider a nonlocal aggregation equation with degenerate diffusion, which describes the mean-field limit of interacting particles driven by nonlocal interactions and localized repulsion. When the interaction potential is attractive, it is previously known that all steady states must be radially decreasing up to a translation, but uniqueness (for a given mass) within the radial class was open, except for some special interaction potentials. For general attractive potentials, we show that the uniqueness/non-uniqueness criteria are determined by the power of the degenerate diffusion, with the critical power being $m = 2$. In the case $m \ge 2$, we show that for any attractive potential the steady state is unique for a fixed mass. In the case $1 &lt; m &lt; 2$, we construct examples of smooth attractive potentials, such that there are infinitely many radially decreasing steady states of the same mass. For the uniqueness proof, we develop a novel interpolation curve between two radially decreasing densities, and the key step is to show that the interaction energy is convex along this curve for any attractive interaction potential, which is of independent interest.

研究动机与目标

• 解决具有退化扩散的聚集-扩散方程中，对于一般吸引势，径向递减稳态解唯一性这一开放问题。
• 确定扩散指数 $ m $ 在固定质量下对稳态解唯一性或非唯一性的关键作用。
• 提出一种连接两个径向递减密度的新插值曲线，以证明相互作用能量的凸性，该结果具有独立的数学意义。
• 构造显式反例，表明当 $ 1 < m < 2 $ 时，即使对于光滑吸引势，也存在无穷多个稳态解。

提出的方法

• 引入一种连接两个径向递减概率密度的新插值曲线，以标量 $ s \in [0,1] $ 参数化，用于分析能量演化。
• 利用分数阶拉普拉斯算子的新积分表示和正则性估计，证明对于任意吸引势，沿该曲线的相互作用能量是凸的。
• 将相互作用能量的凸性应用于推导极小化子的必要条件，将其与扩散指数 $ m $ 联系起来。
• 基于分数阶正则性引理的扰动方法，构造一列光滑、径向对称、吸引势 $ \widetilde{W} $，其在原点附近满足 $ W \sim |x|^k $。
• 使用集中紧致性原理和变分方法建立稳态解的存在性，随后应用插值方法分析其唯一性。
• 利用分数阶正则性引理控制 $ (-\Delta)^s(W\phi) $ 在 $ L^1 $ 中的行为，确保能量凸性论证所需的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当扩散指数 $ m \geq 2 $ 时，对于任意光滑、吸引势，稳态解是否唯一？
• RQ2 当 $ 1 < m < 2 $ 时，即使对于光滑吸引势，径向递减稳态解的非唯一性是否可能发生？
• RQ3 沿连接两个径向递减密度的新插值曲线，相互作用能量是否凸？该凸性是否对所有吸引势均成立？
• RQ4 在聚集-扩散方程中，分隔唯一性与非唯一性稳态解的临界 $ m $ 值是多少？

主要发现

• 当 $ m \geq 2 $ 时，对于任意固定质量和任意光滑、吸引势，稳态解在径向递减密度中是唯一的。
• 当 $ 1 < m < 2 $ 时，存在光滑、径向对称、吸引势，使得具有相同质量的无穷多个径向递减稳态解存在。
• 沿连接两个径向递减密度的新插值曲线，相互作用能量是凸的，该结果对任意吸引势均成立，且具有独立的数学价值。
• 临界指数 $ m = 2 $ 将唯一性（$ m \geq 2 $）与非唯一性（$ 1 < m < 2 $）的区域分隔开来，解决了该领域长期悬而未决的问题。
• 非唯一性的构造依赖于在原点附近对势 $ W \sim |x|^k $ 的扰动，其中 $ k \in (-n, 0) $，并利用分数阶正则性引理控制 $ W\phi $ 的分数阶拉普拉斯算子的行为。
• 沿插值曲线证明相互作用能量凸性的关键在于对分数阶拉普拉斯算子的精细分析以及涉及 $ H(t) $ 的积分估计，从而得到 $ (-\Delta)^s f $ 在 $ s < \min\{\frac{n+k}{2}, 1\} $ 条件下的 $ L^1 $ 估计。