[论文解读] Uniqueness and Nondegeneracy of positive solutions to Kirchhoff equations and its applications in singular perturbation problems

Gongbao Li, Peng Luo+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用 14

一句话总结

该论文通过一种新颖的Lyapunov-Schmidt约化方法，建立了$ [ \mathbb{R}^3$ $中Kirchhoff方程正解的唯一性与非退化性，首次实现了对小参数$ \epsilon > 0$ 的奇异摄动Kirchhoff问题的统一存在性与局部唯一性结果。该方法应用局部Pohozaev恒等式证明局部唯一性，为先前工作提供了非变分方法的替代方案。

ABSTRACT

In the present paper, we establish the uniqueness and nondegeneracy of positive energy solutions to the Kirchhoff equation \begin{eqnarray*} -\left(a+b\int_{\mathbb{R}^{3}}| abla u|^{2} ight)Δu+u=|u|^{p-1}u & & ext{in }\mathbb{R}^{3}, \end{eqnarray*} where $a,b>0$, $10$ sufficiently small, under some mild assumptions on the potential function $V:\mathbb{R}^3 o \mathbb{R}$. The existence result is obtained by applying the Lyapunov-Schmidt reduction method. It seems to be the first time to study singularly perturbed Kirchhoff problems by reduction method, as all the previous results were obtained by various variational methods. Another advantage of this approach is that it gives a unified proof to the perturbation problem for all $p\in (1,5)$, which is quite different from using variational methods in the literature. The local uniqueness result is totally new. It is obtained by using a type of local Pohozaev identity, which is developed quite recently by Deng, Lin and Yan in their work "On the prescribed scalar curvature problem in $\mathbb{R}^N$, local uniqueness and periodicity." (see J. Math. Pures Appl. (9) {\bf 104}(2015), 1013-1044).

研究动机与目标

• 在$ \mathbb{R}^3$ 中，针对$1 < p < 5$，建立Kirchhoff方程$-\left(a + b\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2\right)\Delta u + u = u^p$的正能量解的唯一性与非退化性。
• 将Lyapunov-Schmidt约化方法应用于小参数$ \epsilon > 0$ 的摄动Kirchhoff问题，证明半经典有界态解的存在性。
• 通过新发展的局部Pohozaev恒等式，建立摄动Kirchhoff问题半经典解的局部唯一性。
• 为整个范围$p \in (1,5)$的奇异摄动Kirchhoff问题提供一个统一的非变分框架，与先前的变分方法形成对比。

提出的方法

• 采用Lyapunov-Schmidt约化方法，将无限维的摄动Kirchhoff问题约化为有限维问题，通过隐函数定理证明存在性。
• 利用由Deng、Lin与Yan最近发展的精细局部Pohozaev恒等式，证明半经典解的局部唯一性。
• 应用加权Sobolev空间估计与Hölder不等式，控制约化过程中涉及$\|\nabla \varphi\|_{L^2}$与$\|\varphi\|_\epsilon$的非线性项。
• 推导解关于$\epsilon$的渐近展开式，表明解在势函数$V(x)$的临界点附近集中。
• 通过分析线性化算子的核，建立无摄动问题的基态解的非退化性。
• 在约化框架中，利用正部的初等逐点不等式估计非线性项$|(u + \varphi)_+^{p-1} - u^{p-1}|$及其导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$ \mathbb{R}^3$ 中，对于$1 < p < 5$，Kirchhoff方程的正解是否唯一且非退化？
• RQ2 Lyapunov-Schmidt约化方法能否成功应用于此前仅通过变分方法研究的奇异摄动Kirchhoff问题？
• RQ3 摄动Kirchhoff问题的半经典解的局部唯一性是否可实现？若可实现，需要哪些工具？
• RQ4 能否使用单一统一的方法处理整个范围$p \in (1,5)$而无需分情况讨论，与变分方法形成对比？

主要发现

• 在给定$a,b > 0$的条件下，无摄动Kirchhoff方程在$ \mathbb{R}^3$ 中对所有$p \in (1,5)$的正解是唯一且非退化的。
• 在势函数$V(x)$的温和假设下，当$ \epsilon > 0$ 充分小时，摄动Kirchhoff问题至少存在一个半经典有界态解。
• 通过新颖应用局部Pohozaev恒等式，建立了半经典解的局部唯一性，该结果此前在文献中尚未出现。
• Lyapunov-Schmidt约化方法为整个范围$p \in (1,5)$提供了统一的存在性证明，避免了对特定情况的变分论证。
• 当$ \epsilon \to 0^ $时，解在$V(x)$的临界点附近集中，其集中形态由无摄动问题的基态决定。
• 该方法对非线性项给出了精确估计，表明约化中的误差项受$\epsilon^{-3(p-1)/2}$与$\epsilon^{-3/2}$控制，确保极限下的收敛性。