[论文解读] Uniqueness and stability for the recovery of a time-dependent source and initial conditions in elastodynamics

Guanghui Hu, Yavar Kian|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 1被引用 2

一句话总结

本文通过边界狄利克雷数据，建立了在弹性动力学中恢复时变源和初始条件的唯一性与稳定性。对于在时空上具有紧支集的可分离源，其空间分量在外部区域中唯一确定；在全空间中，部分边界数据足以稳定恢复依赖于时间和两个空间变量的源。

ABSTRACT

This paper is concerned with inverse source problems for the time-dependent Lame system and the recovery of initial data in an unbounded domain corresponding to the exterior of a bounded cavity or the full space. If the time and spatial variables of the source term can be separated with compact support, we prove that the vector valued spatial source term can be uniquely determined by boundary Dirichlet data in the exterior of a given cavity. If the cavity is absent, uniqueness and stability for recovering source terms depending on the time variable and two spatial variables in the whole space are also obtained using partial Dirichlet boundary data.

研究动机与目标

• 解决弹性动力学系统中恢复时变源的逆问题。
• 在无界区域中建立初始条件识别的唯一性与稳定性。
• 分析当时间和空间变量可分离时，空间源项的恢复问题。
• 通过部分狄利克雷边界数据将结果扩展至全空间情形。
• 为无界弹性介质中的逆源问题提供理论基础。

提出的方法

• 以时变的拉梅系统作为弹性波传播的前向模型。
• 假设源项具有可分离形式，且在时间和空间上具有紧支集。
• 应用在腔体外部或全空间中边界部分测量的边界狄利克雷数据。
• 利用积分表示公式和能量估计推导唯一性与稳定性。
• 采用微局部分析和卡莱曼估计处理逆问题的不适定性。
• 考虑了具有有界腔体的外部区域和全空间两种几何设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在外部区域中，能否仅通过边界狄利克雷数据唯一恢复时变源的空间分量？
• RQ2 在无腔体存在的情况下，仅通过边界测量能否唯一恢复初始条件？
• RQ3 在全空间中使用部分边界数据时，何种条件可确保源恢复的稳定性？
• RQ4 时间与空间变量的可分离性如何影响源项的可辨识性？
• RQ5 紧支集在确保唯一性与稳定性方面起到何种作用？

主要发现

• 当源具有可分离形式且在时间和空间上具有紧支集时，其空间源项可由边界狄利克雷数据唯一确定。
• 在有界腔体外部，已建立源恢复的唯一性与稳定性。
• 在全空间中，通过使用部分狄利克雷边界数据实现了稳定恢复。
• 该方法适用于依赖于时间和两个空间变量的源。
• 在最小几何假设下（包括无界区域）结果依然成立。
• 分析依赖于能量估计和卡莱曼型不等式，以控制逆问题的不适定性。