[论文解读] Uniqueness for inverse boundary value problems by Dirichlet-to -Neumann map on subboundaries

Oleg Imanuvilov, Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 43被引用 3

一句话总结

本文通过将Dirichlet-to-Neumann映射限制在子边界上，建立了二维和三维反边界值问题的唯一性结果。作者利用基于Carleman估计构造的复几何光学解，证明在测量边界与不可及边界之并的闭包覆盖全边界的前提下，电导率γ可由部分边界测量唯一确定。

ABSTRACT

We consider inverse boundary value problems for elliptic equations of second order of determining coefficients by Dirichlet-to-Neumann map on subboundaries, that is, the mapping from Dirichlet data supported on $\partialΩ\setminus Γ_-$ to Neumann data on $\partialΩ\setminus Γ_+$. First we prove uniqueness results in three dimensions under some conditions such as $\bar{Γ_+ \cup Γ_-} = \partialΩ$. Next we survey uniqueness results in two dimensions for various elliptic systems for arbitrarily given $Γ_- = Γ_+$. Our proof is based on complex geometric optics solutions which are constructed by a Carleman estimate.

研究动机与目标

• 当Dirichlet-to-Neumann映射仅在子边界上已知时，建立反电导率问题的唯一性。
• 研究部分边界测量是否足以在二维和三维中唯一恢复电导率γ。
• 将Calderón问题推广至仅在边界部分区域收集数据的情形，且在几何与正则性条件下实现唯一性。
• 基于复几何光学解与Carleman估计，建立处理反系数问题中不完全数据的框架。

提出的方法

• 使用依赖于大参数τ的权函数的Carleman估计，构造电导率方程的复几何光学解。
• 利用这些解在τ → ∞时的渐近行为，推导出电导率差值的积分恒等式。
• 通过分部积分与边界迹估计控制误差项，并在子边界上导出趋于零的极限。
• 利用全纯函数与反全纯函数的构造来建模边界数据，并利用Dirichlet-to-Neumann映射的结构。
• 通过Sobolev空间中的极值问题建立对偶论证，从积分条件重构边界数据。
• 利用如下事实：若一个边界函数与所有全纯函数的积分为零，则该函数必为零，从而推导出唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三维情形下，当Dirichlet-to-Neumann映射被限制在子边界上时，电导率γ是否可唯一确定？
• RQ2 对区域及子边界需满足何种几何与正则性条件，才能保证反电导率问题的唯一性？
• RQ3 当Dirichlet-to-Neumann映射仅在单个子边界Γ₊ = Γ₋上已知时，二维情形下唯一性是否仍成立？
• RQ4 复几何光学解与Carleman估计的使用如何实现从部分边界数据的恢复？
• RQ5 在何种条件下，边界积分对全纯函数的消失可推出函数本身为零？

主要发现

• 在三维情形下，当可及边界与不可及边界的并集的闭包覆盖全边界时，即$\bar{Γ}_+ ∪ Γ_- = \partial\Omega$，电导率γ的唯一性得以确立。
• 在二维情形下，对于任意子边界Γ₊ = Γ₋，只要边界数据对所有全纯函数的积分为零，则唯一性成立。
• 证明依赖于通过Carleman估计构造复几何光学解，从而控制大参数τ → ∞时的渐近行为。
• 作者表明，若Dirichlet-to-Neumann数据在子边界上一致，则电导率的差值必为零，从而推出唯一性。
• 一个关键技术步骤是证明：涉及相位函数Φ及其共轭的某些边界积分在τ → ∞时趋于零，从而导致电导率差值的消失。
• 利用在边界上有限个点处高阶零点的全纯函数的存在性，构造出将误差局部化的解，从而支持唯一性论证。