[论文解读] Uniqueness in determining the orders of time and spatial fractional derivatives

Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文证明了通过在单个空间点对解进行点态测量，可以唯一确定扩散方程中的时间分数阶阶数 $\alpha \in (0,2)\setminus\{1\}$ 和空间分数阶阶数 $\beta \in (0,1)$。证明基于特征函数展开和Mittag-Leffler函数的渐近分析，表明在初始数据和特征值满足适当条件时，$u_{\alpha,\beta}(x_0,t)$ 在 $0<t<T$ 范围内唯一确定 $\alpha$ 和 $\beta$。

ABSTRACT

We prove the uniqueness in determining both orders of fractional time derivatives and spatial derivatives in diffusion equations by pointwise data. The proof relies on the eigenfunction expansion and the asymptotics of the Mittag-Leffler function.

研究动机与目标

• 通过在单个空间点对解进行点态测量，建立扩散方程中时间分数阶阶数 $\alpha$ 和空间分数阶阶数 $\beta$ 唯一确定的性质。
• 解决在异常扩散模型中利用有限数据识别分数阶阶数的反问题，这对精确的物理建模至关重要。
• 提供在何种条件下单点解数据可唯一确定分数阶阶数，从而克服现有方法的局限性。
• 通过同时识别时间与空间分数阶阶数，拓展现有分数阶扩散反问题的研究结果。

提出的方法

• 利用椭圆算子 $A$ 的特征值 $\lambda_k$ 和特征函数 $\varphi_{kj}$，对解 $u_{\alpha,\beta}(x,t)$ 进行特征函数展开。
• 将Mittag-Leffler函数 $E_{\alpha,1}(-\lambda_k^\beta t^\alpha)$ 作为解展开中的时间分量。
• 对大 $\ell$ 应用Mittag-Leffler函数的渐近分析，推导出涉及系数 $a_k = (a, \varphi_{kj})$ 的恒等式。
• 利用条件 $\sum_{j=1}^{m_{k_0}} (a, \varphi_{k_0j}) \varphi_{k_0j}(x_0) \neq 0$ 和 $\lambda_{k_0} \neq 1$，确保 $\beta$ 确定过程的非退化性。
• 建立涉及 $\lambda_k^{\beta\ell}$ 的方程组，并对两个候选阶数 $\beta$ 和 $\beta_1$ 进行比较，除非 $\beta = \beta_1$，否则导致矛盾。
• 应用Lebesgue控制收敛定理分析无穷级数在 $\ell \to \infty$ 时的极限行为，以处理推导出的恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过单个空间位置的点态解数据唯一确定时间分数阶阶数 $\alpha$ 和空间分数阶阶数 $\beta$？
• RQ2 为确保唯一确定 $\alpha$ 和 $\beta$，初始数据和椭圆算子的特征结构需要满足哪些条件？
• RQ3 为何条件 $\lambda_{k_0} \neq 1$ 对 $\beta$ 的唯一性至关重要？
• RQ4 Mittag-Leffler函数的渐近行为如何促进唯一性证明？
• RQ5 是否可能在不假设初始数据所有傅里叶系数均非零的条件下，唯一确定 $\alpha$ 和 $\beta$？

主要发现

• 在所述条件下，解 $u_{\alpha,\beta}(x_0,t)$ 对于 $0 < t < T$ 唯一确定 $\alpha \in (0,2)\setminus\{1\}$ 和 $\beta \in (0,1)$。
• 条件 $\sum_{j=1}^{m_{k_0}} (a, \varphi_{k_0j}) \varphi_{k_0j}(x_0) \neq 0$ 和 $\lambda_{k_0} \neq 1$ 对 $\beta$ 的唯一性至关重要；否则解将与 $\beta$ 无关。
• 通过反证法在两种情形下证明 $\beta_1 = \beta$：$\lambda_{k_0} > 1$ 和 $\lambda_{k_0} < 1$，利用涉及 $\lambda_k^{\beta\ell}$ 的级数的渐近行为。
• $\alpha$ 的唯一性由条件 $(A^{-\beta}a)(x_0) \neq 0$ 保证，该条件不依赖于完整的正则性条件 (1.2)。
• 即使集合 $\{m/\alpha \mid m \in \mathbb{N}\}$ 在 $\mathbb{N}$ 中稠密，结论依然成立，通过构造趋于无穷的序列 $\ell_n$ 避开该集合。
• 该方法避免了要求所有傅里叶系数非零，与以往工作不同，使得条件 (1.3) 显著弱于 Tatar 和 Ulusoy (2015) 中的 (1.4)。