[论文解读] Uniqueness in inverse acoustic and electromagnetic scattering by penetrable obstacles

Jiaqing Yang, Bo Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2013

Numerical methods in inverse problems被引用 12

一句话总结

本文在固定频率下，通过构造小区域内的适定内部传输问题并利用积分方程的先验 $L^p$ 估计，首次实现了对穿透性、非均匀障碍物的唯一确定，解决了长期存在的传输系数 $\lambda=1$ 或 $\lambda_H=1$ 的情形，统一了声学与电磁波散射的理论框架。

ABSTRACT

This paper considers the inverse problem of scattering of time-harmonic acoustic and electromagnetic plane waves by bounded, inhomogeneous, penetrable obstacles in a homogeneous background medium. A new method is proposed to prove the unique determination of the penetrable, inhomogeneous obstacle from the far-field pattern for all incident plane waves at a fixed frequency. Our method is based on constructing a well-posed interior transmission problem in a {\em small} domain associated with the Helmholtz or modified Helmholtz equation and the Maxwell or modified Maxwell equations, where a key role is played by the fact that the domain is small, which ensures, for the previously unresolved case with the transmission coefficient $\la=1$ or $\la_H=1$, that the lowest transmission eigenvalue is large so that a given wave number $k$ is not an eigenvalue of the interior transmission problem. Another ingredient in our proofs is a priori estimates of solutions to the transmission scattering problems with boundary data in $L^p$ ($1<p<2$), which are established in this paper by using the integral equation method. A main feature of the new method is that it can deal with the acoustic and electromagnetic cases in a unified way and can be easily applied to deal with inverse scattering by unbounded rough interfaces.

研究动机与目标

• 解决穿透性、非均匀障碍物在传输系数 $\lambda=1$ 或 $\lambda_H=1$ 情形下的反散射问题，该情形此前因特征值退化而未被解决。
• 通过统一的数学框架，统一处理反散射理论中的声学与电磁波散射问题。
• 在固定频率下，从所有入射平面波的远场模式唯一确定障碍物。
• 将反散射方法的适用范围扩展至无界粗糙界面。

提出的方法

• 在小区域内构造适定的内部传输问题，以避免在 $\lambda=1$ 或 $\lambda_H=1$ 时出现特征值问题。
• 利用小区域的尺寸特性，确保最低传输特征值足够大，使得波数 $k$ 不成为特征值。
• 采用积分方程方法，为边界数据属于 $L^p$ ($1<p<2$) 的解建立先验 $L^p$ 估计。
• 对声波使用亥姆霍兹方程或修正亥姆霍兹方程，对电磁波使用麦克斯韦方程或修正麦克斯韦方程。
• 将反问题表述为远场模式问题，并利用传输问题将数据与障碍物的性质联系起来。
• 通过控制方程结构上的相似性，统一分析声学与电磁波情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当传输系数为 $\lambda=1$ 或 $\lambda_H=1$ 时，穿透性障碍物的反散射问题是否可以唯一求解？
• RQ2 是否能够通过单一分析框架统一处理声学与电磁波反散射问题？
• RQ3 如何为 $1<p<2$ 情形下的传输问题解建立 $L^p$ 估计，以支持唯一性证明？
• RQ4 该方法能否扩展至无界粗糙界面的反散射问题？
• RQ5 小区域尺寸在避免内部传输问题中特征值障碍方面起到何种作用？

主要发现

• 本文首次在固定频率下，从所有入射平面波的远场模式唯一确定了穿透性、非均匀障碍物。
• 该方法成功解决了此前因波数 $k$ 处于传输特征值而导致的 $\lambda=1$ 或 $\lambda_H=1$ 情形的障碍。
• 通过积分方程方法，严格建立了 $1<p<2$ 情形下传输问题解的先验 $L^p$ 估计，这是关键技术进展。
• 小区域构造确保了 $k$ 不是内部传输问题的特征值，从而保证了问题的适定性。
• 该框架统一了声学与电磁波散射问题，使得两类情形可采用统一方法处理。
• 该方法可扩展至无界粗糙界面的反散射问题，显著拓宽了其适用范围。