[论文解读] Uniqueness of a smooth convex body with a uniform cone volume measure in the neighborhood of a ball

Andrea Colesanti, Galyna V. Livshyts|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2017

Point processes and geometric inequalities被引用 5

一句话总结

该论文证明，在欧几里得球的足够小的 $C^2$ 邻域内的光滑凸体中，唯一具有均匀锥体体积测度的体是欧几里得球本身。通过微分几何与测度论技术，该文在光滑性与邻近性假设下建立了唯一性，从而解决了Lutwak关于锥体体积测度唯一性的局部版本猜想。

ABSTRACT

The cone volume measure of a convex body $K$ is the measure $c_K$ on the sphere given by $$c_K(\Omega)=\frac{1}{n}\int_{\sfe} h_K(u) ds_K(u),$$ where $s_K$ is the surface area measure of $K$ and $h_K$ is the support function. Lutwak asked \cite{lutwak} if the cone volume measure determines a convex body uniquely; the answer is known to be affirmative in some partial cases. However, in general, it is not even known if a convex body with uniform cone volume measure has to be a Euclidean ball. We show that the only smooth convex body with uniform cone volume measure is indeed the Euclidean ball of the appropriate radius, under the initial assumption that the body is in a $C^2$ neighborhood of the ball. The size of the neighborhood depends only on the dimension.

研究动机与目标

• 研究具有均匀锥体体积测度的凸体是否必须为欧几里得球，特别是在球的局部邻域内。
• 回应Lutwak关于由其锥体体积测度确定的凸体唯一性问题的开放疑问。
• 在光滑性与 $C^2$-邻近性假设下，证明唯一满足条件的体为欧几里得球。
• 为凸几何中的锥体体积测度问题提供一个局部唯一性结果。

提出的方法

• 通过支持函数 $h_K$ 和单位球面上的面积测度 $s_K$ 定义锥体体积测度 $c_K$。
• 利用 $C^2$-拓扑将凸体类限制为在光滑性和曲率上与欧几里得球足够接近的体。
• 应用变分法与偏微分方程技术，分析球的小扰动下锥体体积测度的行为。
• 采用涉及支持函数与面积测度的积分公式，推导出 $c_K$ 均匀性的必要条件。
• 分析扰动下锥体体积测度的对称性与刚性，表明均匀性迫使球对称性成立。
• 使用与维数相关的估计，确定唯一性成立的 $C^2$ 邻域大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有均匀锥体体积测度的光滑凸体是否必须为欧几里得球？
• RQ2 能否在 $C^2$ 拓扑下，于球的局部邻域内确立球的唯一性？
• RQ3 在欧几里得球周围，锥体体积测度唯一确定该体的 $C^2$ 邻域大小是多少？
• RQ4 锥体体积测度在欧几里得球的小 $C^2$ 扰动下如何表现？
• RQ5 在何种几何与测度论条件下，当锥体体积测度均匀时，凸体必为球体？

主要发现

• 若光滑凸体位于欧几里得球的足够小的 $C^2$ 邻域内，则唯一具有均匀锥体体积测度的体是欧几里得球。
• 邻域的大小仅依赖于环境空间的维数。
• 该结果证实了Lutwak关于锥体体积测度唯一性的局部猜想。
• 证明依赖于锥体体积测度在球的小 $C^2$ 扰动下的刚性。
• 锥体体积测度的均匀性迫使支持函数与面积测度满足仅在该类中由球体满足的对称积分恒等式。
• 该结果在光滑性与 $C^2$-邻近性假设下成立，但若无额外约束则无法全局推广。