[论文解读] Uniqueness of Constant Scalar Curvature Sasakian Metrics

Xishen Jin, Xi Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文在紧致Sasakian流形上建立了常标量曲率Sasakian度量（cscS）的唯一性，模去保持横截全纯结构的自伴群的单位连通分支的作用。通过证明Sasakian度量空间中弱测地线上的横截Mabuchi能量泛函的凸性（利用先前工作中获得的弱C²正则性），作者推导出：与同一Reeb场和横截复结构相容的两个cscS度量必须通过横截全纯自同构关联，从而确立了在对称性下的唯一性。

ABSTRACT

In this paper, we prove that the transverse Mabuchi K-energy functional is convex along the weak geodesic in the space of Sasakian metrics. As an application, we obtain the uniqueness of constant scalar curvature Sasakian metrics modulo automorphisms for the transverse holomorphic structure.

研究动机与目标

• 在紧致Sasakian流形上建立常标量曲率Sasakian度量（cscS）的唯一性。
• 将Kähler几何中cscK度量的唯一性结果推广至Sasakian几何设定。
• 证明cscS度量在保持横截全纯结构的自同构群单位连通分支作用下唯一。
• 在Sasakian度量空间中，证明横截Mabuchi能量泛函沿弱测地线的凸性。
• 将此凸性应用于变分与几何论证，以在横截Kähler设定中推导唯一性。

提出的方法

• 利用Sasakian度量空间中测地线的弱C²正则性，证明横截Mabuchi能量泛函沿弱测地线的凸性。
• 通过利用横截Kähler结构，将Berman与Berndtsson（2011）在Kähler几何中的论证方法适配至Sasakian几何。
• 使用横截Kähler势空间中的弱测地线流，分析Mabuchi能量泛函的行为。
• 引入一个扰动泛函 $\mathcal{M}_s = \mathcal{M} + s\tilde{\mathcal{F}}_\mu$，以研究临界点及其沿测地线的变化。
• 在基本函数空间上应用微分学，计算Mabuchi能量及其扰动的导数。
• 利用微分中值定理，并结合测地线在$C^1$与$\Delta$-范数上的一致有界性，控制能量差的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 横截Mabuchi能量是否在Sasakian度量空间的弱测地线上凸？
• RQ2 能否在横截全纯结构自同构作用下确立常标量曲率Sasakian度量的唯一性？
• RQ3 Mabuchi能量泛函的凸性如何在Sasakian设定中导致唯一性，类似于Kähler情形？
• RQ4 测地线的弱$C^2$正则性在证明凸性与唯一性中起什么作用？
• RQ5 哈密顿横截全纯向量场如何影响Mabuchi能量的临界点与势函数？

主要发现

• 横截Mabuchi能量在Sasakian度量空间的弱测地线上是凸的，将Kähler几何中的一个关键结果推广至Sasakian设定。
• 泛函 $\mathcal{M}_s = \mathcal{M} + s\tilde{\mathcal{F}}_\mu$ 沿弱测地线是严格凸的，确保极小化子的唯一性。
• 与同一Reeb场和横截复结构相容的两个常标量曲率Sasakian度量必须满足 $d\eta_1 = d\eta_2$，这意味着它们通过横截全纯自同构关联。
• 横截Kähler形式差 $d\eta_{u_0}$ 与 $d\eta_{u_1}$ 消失，即 $d(d\eta_{u_0}, d\eta_{u_1}) = 0$，这意味着 $d\eta_{u_0} = d\eta_{u_1}$。
• 证明表明，任意两个cscS度量都通过自同构群 $G_0$ 的单位连通分支中的元素 $\iota$ 关联，满足 $\eta_2 = \eta_1 + d_B^c\varphi_\iota$ 且 $g_2 = \frac{1}{2}d\eta_2 \circ (\text{Id} \otimes \Phi_2) + \eta_2 \otimes \eta_2$，从而确认了在对称性下的完全唯一性。
• 该结果证实cscS度量在 $G_0$ 作用下唯一，将Kähler几何中cscK度量的唯一性结果推广至Sasakian背景。