[论文解读] Uniqueness of Dirichlet forms related to infinite systems of interacting Brownian motions

Yosuke Kawamoto, Hirofumi Osada+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文在标记粒子不爆炸的条件下，建立了无限系统相互作用的布朗运动所关联的两个自然Dirichlet形式——上形式（upr）与下形式（lwr）——相等的充分条件。通过无限维随机微分方程（ISDEs）弱解的唯一性，作者证明了当标记粒子不爆炸时，这两种形式完全相同，从而解决了无限维扩散理论中长期悬而未决的问题，并将结果推广至随机矩阵理论和Ruelle类势能的系统。

ABSTRACT

The Dirichlet forms related to various infinite systems of interacting Brownian motions are studied. For a given random point field $ μ$, there exist two natural infinite-volume Dirichlet forms $ (\mathcal{E}^{\mathsf{upr}},\mathcal{D}^{\mathsf{upr}})$ and $(\mathcal{E}^{\mathsf{lwr}},\mathcal{D}^{\mathsf{lwr}})$ on $ L^2(\mathsf{S} ,μ) $ describing interacting Brownian motions each with unlabeled equilibrium state $ μ$. The former is a decreasing limit of a scheme of such finite-volume Dirichlet forms, and the latter is an increasing limit of another scheme of such finite-volume Dirichlet forms. Furthermore, the latter is an extension of the former. We present a sufficient condition such that these two Dirichlet forms are the same. In the first main theorem (Theorem 3.1) the Markovian semi-group given by $(\mathcal{E}^{\mathsf{lwr}},\mathcal{D}^{\mathsf{lwr}})$ is associated with a natural infinite-dimensional stochastic differential equation (ISDE). In the second main theorem (Theorem 3.2), we prove that these Dirichlet forms coincide with each other by using the uniqueness of {\ws}s of ISDE. We apply Theorem 3.1 to stochastic dynamics arising from random matrix theory such as the sine, Bessel, and Ginibre interacting Brownian motions and interacting Brownian motions with Ruelle's class interaction potentials, and Theorem 3.2 to the sine$ _2$ interacting Brownian motion and interacting Brownian motions with Ruelle's class interaction potentials of $ C_0^3 $-class.

研究动机与目标

• 解决无限系统相互作用布朗运动的上、下Dirichlet形式何时相等的长期悬而未决问题。
• 建立下Dirichlet形式生成的马尔可夫过程可解于良好定义的ISDE的条件。
• 将Dirichlet形式的唯一性推广至源自随机矩阵理论和Ruelle类相互作用势能的系统。
• 阐明无限系统中Silverstein扩张与Dirichlet形式相等之间的关系。
• 探究标记粒子不爆炸是否为形式相等的必要且充分条件。

提出的方法

• 构造两个Dirichlet形式：上形式作为具有吸收边界条件的有限体积Dirichlet形式的递减极限，下形式作为具有反射边界条件的有限体积Dirichlet形式的递增极限。
• 通过平衡测度μ的对数导数定义ISDE中的漂移项，确保形式对应于具有标记动力学的扩散过程。
• 通过证明弱解的存在性与唯一性，证明下Dirichlet形式生成的马尔可夫过程可解于ISDE。
• 将标记粒子的不爆炸性作为关键技术条件，以控制域大小R → ∞时的边界效应。
• 应用拟Gibbs测度理论与有限体积逼近，验证形式相等的条件。
• 利用ISDE弱解的唯一性，得出在所述条件下上形式与下形式完全相同。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，无限系统相互作用布朗运动的上、下Dirichlet形式相等？
• RQ2 标记粒子不爆炸是否为上、下Dirichlet形式相等的必要且充分条件？
• RQ3 能否通过弱解唯一性严格证明下Dirichlet形式的ISDE表示？
• RQ4 两形式相等是否意味着下形式是上形式的Silverstein扩张？
• RQ5 确保形式相等的相互作用势能与平衡测度的最小条件是什么？

主要发现

• 若标记粒子不爆炸，则上、下Dirichlet形式相等，该条件控制了无限体积极限中的边界效应。
• 与下Dirichlet形式相关的马尔可夫过程可解于具有平衡测度对数导数作为漂移项的无限维SDE。
• 对于正弦β、贝塞尔及Ginibre相互作用布朗运动，当满足不爆炸条件时，两形式相等。
• Ginibre点过程满足所有必要条件（A1）–（A6），证实了该随机矩阵系综下形式相等。
• 形式相等意味着下Dirichlet形式是上形式的Silverstein扩张，解决了关于扩张唯一性的问题。
• 结果证实不爆炸是形式相等的充分条件，作者推测其亦为必要条件。