[论文解读] Uniqueness of DRS as the 2 Operator Resolvent-Splitting and Impossibility of 3 Operator Resolvent-Splitting

Ernest K. Ryu|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Matrix Theory and Algorithms参考文献 53被引用 48

一句话总结

本文证明了 Douglas–Rachford 分裂是在不提升的情况下，针对 2-运算元解析-解分裂中唯一的节省资源且无条件收敛的分裂；且对于 3 运算元在不提升的情况下不存在这样的分裂；同时引入了一种最小提升的 3 运算元分裂，直接推广 DRS。

ABSTRACT

Given the success of Douglas--Rachford splitting (DRS), it is natural to ask whether DRS can be generalized. Are there other 2 operator resolvent-splittings sharing the favorable properties of DRS? Can DRS be generalized to 3 operators? This work presents the answers: no and no. In a certain sense, DRS is the unique 2 operator resolvent-splitting, and generalizing DRS to 3 operators is impossible without lifting, where lifting roughly corresponds to enlarging the problem size. The impossibility result further raises a question. How much lifting is necessary to generalize DRS to 3 operators? This work presents the answer by providing a novel 3 operator resolvent-splitting with provably minimal lifting that directly generalizes DRS.

研究动机与目标

• 激发将 DRS 推广到其他 2-运算元 resolvent-splittings 的可能性。
• 确定在不提升的情况下是否存在 3-运算元 resolvent-splitting。
• 描述 2-运算元情形下的节省资源且无条件收敛的分裂。
• 评估提升作为将 DRS 扩展到 3 运算元的手段，并量化最小提升。
• 提供用于分析分裂的固定点编码框架。

提出的方法

• 为 2-运算元问题类别定义固定点编码并形式化节省资源与提升。
• 描述节省资源且非提升的分裂，并证明 DRS 是唯一一个全域收敛的。
• 使用线性系统（Gaussian-elimination，高斯消元）方法来约束任何节省资源、非提升分裂的形式。
• 应用 Farkas-type 引理，证明某些线性蕴含对有效的固定点编码必须成立。
• 推导出节省资源、非提升分裂的一般形式（Theorem 2.1），并确定收敛条件（Theorem 2.2）。
• 引入并量化 3-运算元设定中的提升，构造一个最小提升的 3 运算元分裂，直接推广 DRS。

实验结果

研究问题

• RQ1 DRS 是否是唯一的节省资源且无条件收敛的 2-运算元 resolver-splitting（无提升）？
• RQ2 在不提升的情况下，是否存在 3 运算元的 resolvent-splitting？
• RQ3 如果存在，节省资源且非提升的分裂应呈现为何种形式？
• RQ4 将 DRS 扩展到 3 运算元而不丢失理想性质所需的最小提升是什么？

主要发现

• DRS 在等价意义下，是维度 d≥2 时唯一的节省资源、无条件收敛的 2-运算元 resolvent-splitting。
• 在所识别的类别中，2-运算元情况的无条件收敛需要 α=β 且 θ∈(0,2)。
• 对于 3-运算元问题不存在固定点编码、非提升的 resolvent-splitting。
• 提供一种新颖的 3-运算元 resolvent-splitting，具有可证明的最小提升，直接推广 DRS。