[论文解读] UNIQUENESS OF QUASI-EINSTEIN METRICS ON 3-DIMENSIONAL HOMOGENEOUS RIEMANNIAN MANIFOLD

Ernani Ribeiro|arXiv (Cornell University)|May 28, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文根据其等距群维数对三维齐次黎曼流形上的 m-准爱因斯坦度量进行了分类。证明了在 Sol³（等距群维数为 3）上不存在此类度量，建立了在伯杰球面（非梯度、非平凡）上存在此类度量，并表明具有 m-准爱因斯坦度量的非紧致齐次三维流形要么是空间形式，要么同构于特定类 E³(κ, τ)，从而将已知的分类结果推广至非梯度情形。

ABSTRACT

One of the motivation to study m-quasi-Einstein metrics on a Riemannian manifold (Mn, g) is its closed relation with warped product Einstein metrics, see e.g. [3]. For instance, when m is a positive integer, m-quasi-Einstein metrics correspond to exactly those n-dimensional manifolds which are the base of an (n + m)-dimensional Einstein warped product. It is important to detach that gradient 1-quasi-Einstein metrics satisfying ∆e−f + λe−f = 0 are more commonly called static metrics with cosmological constant λ. These static metrics have been studied extensively because their connection with scalar curvature, the positive mass theorem and general relativity, for more details see e.g. [1] and [4]. The study of 3-dimensional homogeneous Riemannian manifolds is done, in general, according to the dimension of its isometry group Iso(M3, g), which can be 3, 4 or 6. Following this trend we present here a complete description of m-quasi-Einstein metrics, when this manifold compact or not compact provided dim Iso(M3, g) = 4. In addition, we shall show the absence of such structure on Sol3, which corresponds to dim Iso(M3, g) = 3. When dim Iso(M3, g) = 6 it is well known that M3 is a space form. In this case, its canonical structure gives a trivial example. In particular, we shall prove that Berger’s spheres carry naturally a non trivial structure of quasi-Einstein metrics. Since they have constant scalar curvature, their associated vector fields can not be gradient, this shows that Perelman’s Theorem can not be extend to quasi-Einstein metrics. Moreover, these examples show that Theorem 4.6 of [5] can not be extended for a non gradient vector field. Finally, we prove that if (M3, g, X, λ) is a non compact 3-dimensional homogeneous Riemannian manifold such that g is a m-quasi-Einstein metric, then, either M3 is a space form or M3 is E3(κ, τ) such as our Example obtained in this work. [e-mail] Departamento de Matematica-Universidade Federal do Ceara UFC, 60455-760-Fortaleza-CE-BR.

研究动机与目标

• 根据其等距群维数对三维齐次黎曼流形上的 m-准爱因斯坦度量进行分类。
• 研究当等距群维数为 4 或 3 时，此类度量的存在性与唯一性。
• 确定在具有常数数量曲率的流形（特别是伯杰球面）上，非梯度准爱因斯坦结构是否可能存在。
• 将已知的 m-准爱因斯坦度量分类结果推广至非梯度情形及空间形式之外。
• 分析具有 m-准爱因斯坦度量的非紧致三维齐次流形的结构。

提出的方法

• 根据其等距群维数（3、4 或 6）对三维齐次黎曼流形进行分类。
• 使用 m-准爱因斯坦方程：∆_f g + Ric(g) = λg，其中 ∆_f 为 f-拉普拉斯算子，f 为流形 M 上的光滑函数。
• 分析等距群维数 dim(Iso(M)) = 6 的情形，已知此情形意味着 M 为空间形式，从而得到平凡的 m-准爱因斯坦解。
• 在具有常数数量曲率的伯杰球面上显式构造并分析非梯度 m-准爱因斯坦结构。
• 通过几何与对称性约束，证明在 Sol³ 上不存在 m-准爱因斯坦度量。
• 基于拓扑与曲率的分类方法，对具有 m-准爱因斯坦度量的非紧致齐次三维流形进行分类，表明其必为空间形式或同构于 E³(κ, τ)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在等距群维数 dim(Iso(M)) = 4 的三维齐次黎曼流形上，m-准爱因斯坦度量是否存在？
• RQ2 在具有常数数量曲率的流形（如伯杰球面）上，非梯度 m-准爱因斯坦度量是否存在？
• RQ3 是否可以将佩雷尔曼关于梯度准爱因斯坦度量的定理推广至非梯度情形？
• RQ4 具有 m-准爱因斯坦度量的非紧致三维齐次流形的结构是怎样的？
• RQ5 在 m-准爱因斯坦度量背景下，[5] 中定理 4.6 的结果能否推广至非梯度向量场？

主要发现

• 在等距群维数为 3 的 Sol³ 上不存在 m-准爱因斯坦度量。
• 伯杰球面虽具有常数数量曲率，但仍携带非平凡、非梯度的 m-准爱因斯坦结构。
• 伯杰球面上非梯度 m-准爱因斯坦度量的存在性表明，佩雷尔曼定理无法推广至非梯度情形。
• 伯杰球面上非梯度 m-准爱因斯坦度量的例子表明，[5] 中定理 4.6 对非梯度向量场不成立。
• 对于具有 m-准爱因斯坦度量的非紧致三维齐次黎曼流形，该流形要么是空间形式，要么同构于本文构造的 E³(κ, τ)。
• 本文对所有等距群维数的三维齐次流形上的 m-准爱因斯坦度量分类已完成，且给出了明确的结构表征。