[论文解读] Uniqueness of stable-like processes

Zhen-Qing Chen, Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 19

一句话总结

本文建立了由状态依赖的 Lévy 测度和扩散系数驱动的稳定类似 Lévy 过程的 SDE 的鞅问题适定性及路径唯一性。在 Lévy 测度满足 Hölder 连续性、扩散系数满足一致连续性的条件下，证明了当系数属于一阶 Sobolev 空间 $ W^{1,p} $ 且 $ p > d(1 + \alpha \vee 1) $ 时的强唯一性，将经典结果推广至非局部、奇异的跳扩散过程。

ABSTRACT

In this work we consider the following $α$-stable-like operator (a class of pseudo-differential operator) $$ {\mathscr L} f(x):=\int_{\mathbb R^d}[f(x+σ_x y)-f(x)-1_{α\in[1,2)}1_{|y|\leq 1}σ_x y\cdot abla f(x)]ν_x(d y), $$ where the Lévy measure $ν_x(d y)$ is comparable with a non-degenerate $α$-stable-type Lévy measure (possibly singular), and $σ_x$ is a bounded and nondegenerate matrix-valued function. Under Hölder assumption on $x\mapstoν_x(d y)$ and uniformly continuity assumption on $x\mapstoσ_x$, we show the well-posedness of martingale problem associated with the operator $\mathscr L$. Moreover, we also obtain the existence-uniqueness of strong solutions for the associated SDE when $σ$ belongs to the first order Sobolev space $\mathbb W^{1,p}(\mathbb R^d)$ provided $p>d(1+α\vee 1)$ and $ν_x=ν$ is a non-degenerate $α$-stable-type Lévy measure.

研究动机与目标

• 建立与状态依赖 Lévy 测度相比为 $ \alpha $-稳定型的非局部算子类的鞅问题适定性。
• 研究当扩散系数属于 Sobolev 空间 $ W^{1,p} $ 且 $ p > d(1 + \alpha \vee 1) $ 时，由 $ \alpha $-稳定类似过程驱动的 SDE 的路径唯一性。
• 将 Krylov 估计技术推广至具有奇异 Lévy 测度的非局部、非扩散型跳跃过程。
• 克服由 Lévy 测度的奇异性与状态依赖性在相关非局部抛物型 PDE 中带来的挑战。
• 为在 Lipschitz 或有界可测系数假设之外的 SDE 提供强唯一性的框架，其噪声具有不连续的 Lévy 特性。

提出的方法

• 使用非局部算子的 $ L^p $-最大正则性理论，分析相关非局部抛物型方程的可解性。
• 应用 Krylov 型估计，在 $ x \mapsto \nu_x $ 满足 Hölder 连续性且 $ x \mapsto \sigma_x $ 满足一致连续性的条件下，建立鞅解的存在性与唯一性。
• 采用带正则化 $ L^q $-型函数 $ f_\varepsilon(x) = (|x|^2 + \varepsilon)^{q/2} $ 的 Itô 公式，分析两个解的差异。
• 引入停时序列 $ \tau_n $ 以局部化跳跃时间，并控制解的差异 $ Z_t = X_t - Y_t $ 的增长。
• 应用引理 2.1 和 Sobolev 嵌入，对 $ \sigma $ 的梯度的极大函数进行有界，从而保证其在 $ L^p $ 中的可积性。
• 利用 Lévy 测度的对称性及三角不等式 $ ||x|^q - |y|^q| \leq |x - y|^q $，控制 Itô 公式中跳跃项的贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 在状态依赖的 Lévy 测度 $ \nu_x $ 和扩散系数 $ \sigma_x $ 满足何种正则性条件时，稳定类似算子 $ \mathscr{L} $ 的鞅问题存在唯一解？
• RQ2 当系数 $ \sigma $ 仅属于 $ W^{1,p} $ 且 $ p > d(1 + \alpha \vee 1) $ 而非 Lipschitz 条件时，能否为由 $ \alpha $-稳定类似 Lévy 过程驱动的 SDE 建立路径唯一性？
• RQ3 如何将 Krylov 型估计适配于具有奇异、状态依赖 Lévy 测度（非绝对连续）的非局部算子？
• RQ4 $ L^p $-最大正则性在证明相关抛物型方程可解性方面发挥何种作用？
• RQ5 经典 SDE 理论（基于布朗运动）在多大程度上可推广至具有不连续 $ \alpha $-稳定类似跳跃的 SDE？

主要发现

• 在 $ x \mapsto \nu_x $ 满足 Hölder 连续性且 $ x \mapsto \sigma_x $ 满足一致连续性的条件下，与稳定类似算子 $ \mathscr{L} $ 相关的鞅问题适定。
• 当 $ \sigma \in W^{1,p}({\mathbb{R}}^d) $ 且 $ p > d(1 + \alpha \vee 1) $，且 $ \nu_x = \nu $ 为非退化的 $ \alpha $-稳定型 Lévy 测度时，SDE $ dX_t = \sigma(X_t) dL_t $ 的路径唯一性成立。
• 证明依赖于对两个解差异应用 Krylov 型估计，并使用正则化 $ L^q $-范数（$ q \in (\alpha, 2) $）。
• 证明了 $ \sigma $ 的梯度的极大函数属于 $ L^p $，从而确保估计所需的可积性，该结论通过 Sobolev 嵌入得出。
• 通过使用停时 $ \tau_n $ 局部化过程，证明了在第 $ n $ 次跳跃时间之前有 $ X_t = Y_t $ 几乎必然成立，从而推出路径唯一性。
• 该结果将强唯一性从布朗运动推广至 $ \alpha $-稳定类似跳跃过程，在弱于 Lipschitz 的正则性条件下成立，即 $ W^{1,p} $ 且 $ p > d(1 + \alpha \vee 1) $。