[论文解读] Uniqueness of Stable Processes with Drift

Zhen-Qing Chen, Longmin Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文在漂移向量场满足Kato类条件的假设下，建立了由旋转对称 $\alpha$-稳定 Lévy 过程驱动的随机微分方程弱解的存在性与唯一性。关键贡献在于证明了相应的鞅问题适定，从而确保了存在唯一的强马尔可夫过程，其转移密度联合连续，并获得了精确的双边估计。

ABSTRACT

Suppose that $d\geq1$ and $α\in (1, 2)$. Let $Y$ be a rotationally symmetric $α$-stable process on $\R^d$ and $b$ a $\R^d$-valued measurable function on $\R^d$ belonging to a certain Kato class of $Y$. We show that $ d X^b_t= d Y_t+b(X^b_t) d t$ with $X^b_0=x$ has a unique weak solution for every $x\in \R^d$. Let $\sL^b=-(-Δ)^{α/2} + b \cdot abla$, which is the infinitesimal generator of $X^b$. Denote by $C^\infty_c(\R^d)$ the space of smooth functions on $\R^d$ with compact support. We further show that the martingale problem for $(\sL^b, C^\infty_c(\R^d))$ has a unique solution for each initial value $x\in \R^d$.

研究动机与目标

• 建立当 $\alpha \in (1,2)$ 时，由旋转对称 $\alpha$-稳定过程驱动、带漂移的随机微分方程弱解的存在性与唯一性。
• 在漂移 $b$ 属于 Kato 类的条件下，证明生成元 ${\mathcal{L}}^{b} = -(-\Delta)^{\alpha/2} + b\cdot\nabla$ 的鞅问题对所有初始值 $x \in {\mathbb{R}}^{d}$ 是适定的。
• 推导出该过程及其在有界 $C^{1,1}$ 域中被杀死版本的转移密度的精确双边估计。

提出的方法

• 作者通过积分条件 $M_f^\alpha(r) = \sup_{x} \int_{B(x,r)} \frac{|f(y)|}{|x-y|^{d+1-\alpha}} dy$ 定义了 Kato 类 ${\mathbb{K}}_{d,\alpha-1}$，并要求 $\lim_{r\downarrow 0} M_f^\alpha(r) = 0$。
• 他们证明了若 $|b| \in {\mathbb{K}}_{d,\alpha-1}$，则对每个初始值 $x \in {\mathbb{R}}^d$，SDE $dX^b_t = dY_t + b(X^b_t)dt$ 存在唯一的弱解。
• 证明依赖于：每个弱解均满足 $({\mathcal{L}}^b, C_c^\infty({\mathbb{R}}^d))$ 的鞅问题，反之亦然。
• 利用 Itô 公式与 Lévy 系统表示，他们识别了解的连续部分与跳跃部分，表明连续部分为局部鞅，跳跃部分对应于一个旋转对称的 $\alpha$-稳定过程。
• 通过特征函数分析，他们证明在概率测度 $\mathbb{P}_x$ 下，过程 $Z_t = X^b_t - X^b_0 - \int_0^t b(X^b_s)ds$ 是一个旋转对称的 $\alpha$-稳定过程。
• 解的唯一性由鞅问题的唯一性得出，后者通过马尔可夫性质与 Lévy 系统的结构建立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $Y$ 为旋转对称的 $\alpha$-稳定过程且 $b$ 属于 Kato 类 ${\mathbb{K}}_{d,\alpha-1}$ 时，SDE $dX^b_t = dY_t + b(X^b_t)dt$ 是否存在唯一的弱解？
• RQ2 对每个初始值 $x \in {\mathbb{R}}^d$，生成元 ${\mathcal{L}}^b = -(-\Delta)^{\alpha/2} + b\cdot\nabla$ 的鞅问题是否适定？
• RQ3 能否为有界 $C^{1,1}$ 域中过程 $X^b$ 及其被杀死版本的转移密度 $p^b(t,x,y)$ 推导出精确的双边估计？

主要发现

• 当 $|b| \in {\mathbb{K}}_{d,\alpha-1}$ 时，对每个初始值 $x \in {\mathbb{R}}^d$，SDE $dX^b_t = dY_t + b(X^b_t)dt$ 存在唯一的弱解，且该解为强马尔可夫过程。
• 唯一弱解的分布是 $({\mathcal{L}}^b, C_c^\infty({\mathbb{R}}^d))$ 鞭问题的唯一解，从而确立了鞅问题的适定性。
• 过程 $X^b$ 具有相对于 ${\mathbb{R}}^d$ 上勒贝格测度的联合连续转移密度 $p^b(t,x,y)$。
• 对任意 $T > 0$，存在常数 $c_1 > 1$，使得对所有 $(t,x,y) \in (0,T] \times {\mathbb{R}}^d \times {\mathbb{R}}^d$，有 $c_1^{-1} \left(t^{-d/\alpha} \wedge \frac{t}{|x-y|^{d+\alpha}}\right) \leq p^b(t,x,y) \leq c_1 \left(t^{-d/\alpha} \wedge \frac{t}{|x-y|^{d+\alpha}}\right)$，其中 $c_1$ 依赖于 $d$、$\alpha$、$T$ 以及 $M^\alpha_{|b|}(r)$ 的衰减速率。
• 对满足 $d \geq 2$ 的有界 $C^{1,1}$ 域 $D$，被杀死的转移密度 $p^b_D(t,x,y)$ 满足包含边界项 $\delta_D(x)^{\alpha/2}$ 与 $\delta_D(y)^{\alpha/2}$ 的精确双边估计。
• 在 $\mathbb{P}_x$ 下，过程 $Z_t = X^b_t - \int_0^t b(X^b_s)ds$ 是一个旋转对称的 $\alpha$-稳定过程，该结论通过特征函数分析得到验证，即 $\mathbb{E}_x[e^{i\xi \cdot Z_t}] = e^{-t|\xi|^\alpha}$。