[论文解读] Uniqueness of tangent cones for $2$-dimensional almost minimizing currents

Camillo De Lellis, Emanuele Spadaro+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文建立了欧氏空间中几乎面积最小化的二维整值可rectifiable电流的切锥唯一性。通过适配Brian White关于面积最小化电流的定理，作者证明了此类电流在每个正则点处具有唯一的切锥，统一并推广了此前关于面积最小化电流、半标定电流以及三维面积最小化锥球面截面的结果。

ABSTRACT

We consider $2$-dimensional integer rectifiable currents which are almost area minimizing and show that their tangent cones are everywhere unique. Our argument unifies a few uniqueness theorems of the same flavor, which are all obtained by a suitable modification of White's original theorem for area minimizing currents in the euclidean space. This note is also the first step in a regularity program for semicalibrated $2$-dimensional currents and spherical cross sections of $3$-dimensional area minimizing cones.

研究动机与目标

• 将Brian White关于面积最小化二维电流的唯一性定理推广至更广泛的几乎面积最小化电流类。
• 统一并推广几何测度论中关于切锥唯一性的现有结果，包括面积最小化电流、半标定电流以及三维面积最小化锥的球面截面。
• 为一个正则性程序奠定基础，旨在证明此类二维电流要么光滑，要么仅有孤立奇点。
• 确立几乎最小性条件在电流支集内（边界除外）任意点处均蕴含唯一切锥。
• 通过Nash嵌入定理，将嵌入子流形上的结果推广至具有$C^{2,\alpha}$正则性的抽象黎曼流形。

提出的方法

• 采用White原始证明策略，将面积最小化电流的设定推广至几乎最小化电流，使用爆破论证方法。
• 利用缩放映射$\iota_{x,r}(y) = \frac{y-x}{r}$定义缩放电流$T_{x,r} = (\iota_{x,r})_\sharp T$，当$r \downarrow 0$时，该电流收敛于切锥$T_x$。
• 使用几乎最小性条件：对所有满足$\text{spt}(S) \subset B_r(x)$的$S$，有$\|T\|(B_r(x)) \leq \|T + \partial S\|(B_r(x)) + C_0 r^{2 + \alpha_0}$，确保在小扰动下保持稳定性。
• 应用单调性公式的变体及能量估计，控制环形区域中电流与其切锥之间的$L^2$距离。
• 利用等周不等式构造一个质量受控的竞争电流$H$，表明$H$的质量上界为$\frac{Q}{4}\omega_2 + \text{误差项}$。
• 依赖于球面截面的能量$\mathbf{E}(Z)$控制其与模型锥的偏离程度，且小能量意味着质量偏离较小。

实验结果

研究问题

• RQ1 面积最小化二维电流的切锥唯一性是否可推广至更广的几乎最小化电流类？
• RQ2 在$C^{2,\alpha}$黎曼流形中的二维半标定整值电流在正则点处是否具有唯一的切锥？
• RQ3 三维面积最小化锥的球面截面是否由其在原点的切锥唯一确定？
• RQ4 通过首先证明切锥唯一性，能否推进二维电流的正则性理论？
• RQ5 几乎最小性条件是否蕴含足够稳定性，即使在缺乏完全面积最小性时也能保证唯一切锥？

主要发现

• 对每个$x \in \text{spt}(T) \setminus \text{spt}(\partial T)$，当$r \downarrow 0$时，缩放电流$T_{x,r}$收敛于唯一的二维面积最小化锥$T_x$。
• 切锥$T_x$与半径序列$r \to 0$的选择无关，从而确立了完全唯一性。
• 该结果适用于$\mathbb{R}^{n+2}$中$C^2$子流形内的二维面积最小化电流，作为特例恢复了Chang的结果。
• 该结果可推广至$C^{2,\alpha}$黎曼流形中的二维半标定电流，推广了Pumberger与Rivière的结果。
• 三维面积最小化锥的球面截面在原点处具有唯一的切锥，这是此前未建立的新结果。
• 球面截面的能量$\mathbf{E}(Z)$控制其与模型锥的质量偏离，且小能量意味着竞争电流$H$的质量满足$\frac{Q}{4}\omega_2 + (1 - \varepsilon_{13})({\mathbf{M}}(0{\times\times}Z) - Q\omega_2)$，从而确保唯一性。