[论文解读] Uniqueness of the fixed point of nonexpansive semidifferentiable maps

Marianne Akian, Stéphane Gaubert+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 39被引用 6

一句话总结

该论文证明，巴拿赫空间上非扩张次可微映射的不动点全局唯一性及轨道几何收敛性，可仅由不动点处的次微分确定。关键结果表明，Bonsall 的次微分非线性谱半径控制收敛速率，将经典从可微映射推广至次可微映射的结果，适用于零和随机博弈及希尔伯特/汤普森度量等情形。

ABSTRACT

We consider semidifferentiable (possibly nonsmooth) maps, acting on a subset of a Banach space, that are nonexpansive either in the norm of the space or in the Hilbert's or Thompson's metric inherited from a convex cone. We show that the global uniqueness of the fixed point of the map, as well as the geometric convergence of every orbit to this fixed point, can be inferred from the semidifferential of the map at this point. In particular, we show that the geometric convergence rate of the orbits to the fixed point can be bounded in terms of Bonsall's nonlinear spectral radius of the semidifferential. We derive similar results concerning the uniqueness of the eigenline and the geometric convergence of the orbits to it, in the case of positively homogeneous maps acting on the interior of a cone, or of additively homogeneous maps acting on an AM-space with unit. This is motivated in particular by the analysis of dynamic programming operators (Shapley operators) of zero-sum stochastic games.

研究动机与目标

• 将经典不动点唯一性与收敛性结果从可微映射推广至巴拿赫空间中的次可微映射。
• 建立在希尔伯特度量或汤普森度量下，非扩张映射具有全局唯一不动点的条件。
• 利用不动点处的次微分刻画轨道收敛至不动点的几何收敛速率。
• 将 Nussbaum 的可微映射结果推广至次可微情形，尤其针对锥上的齐次映射及含单位元的 AM-空间。
• 为通过次可微 Shapley 算子分析零和随机博弈中的值迭代提供理论基础。

提出的方法

• 在由凸锥诱导的范数、希尔伯特度量或汤普森度量下分析非扩张映射。
• 以次可微性作为可微性的较弱替代，允许对如 Shapley 算子等非光滑映射进行分析。
• 应用 Bonsall 的锥谱半径于不动点处的次微分，以界定几何收敛速率。
• 引入一种非线性 Fredholm 型紧致性条件，以保证不动点的全局唯一性。
• 推导出在正规锥内部的齐次映射及含单位元的 AM-空间上的可加齐次映射的结果。
• 利用次微分刻画不动点集与特征空间的结构，特别证明了唯一性仅差一个常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅从非扩张次可微映射在不动点处的次微分确定其全局唯一不动点？
• RQ2 次微分的何种条件可确保所有轨道收敛至不动点？
• RQ3 Bonsall 的次微分非线性谱半径与随机博弈中值迭代的收敛速率有何关系？
• RQ4 Nussbaum 对可微映射的经典结果在多大程度上可推广至次可微情形？
• RQ5 在锥上齐次映射的背景下，何时特征向量唯一（至多差一个常数）？

主要发现

• 若次微分在非平凡不动点上无解，且满足非线性 Fredholm 型紧致性条件，则非扩张次可微映射的不动点是全局唯一的。
• 若次微分的 Bonsall 谱半径严格小于 1，则所有轨道的几何收敛性得以保证。
• 收敛速率受 Bonsall 谱半径控制，示例显示在半范数 ω 下收敛速率至多为 1/2。
• 在示例的 Shapley 算子中，加法特征向量唯一（至多差一个常数），因为次微分仅具有常数不动点。
• k 次迭代误差的半范数的 k 次根的上极限满足：limsup_{k→∞} ||F^k(x) - u||^{1/k} ≤ 1/2，表明指数衰减。
• 结果将 Nussbaum 的定理推广至次可微情形，即使在有限维情形（此时紧致性条件自动满足）也成立。