[论文解读] Uniqueness results on phaseless inverse scattering with a reference ball

Zhang, Deyue, Guo, Yukun|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2018

Numerical methods in inverse problems被引用 45

一句话总结

该论文通过引入参考球并叠加固定平面波与点源作为入射波，首次在单频条件下实现了亥姆霍兹方程相位无关反散射问题中的唯一性。该方法克服了平移不变性，实现了仅从远场强度数据中唯一恢复障碍物形状、边界条件或介质折射率。

ABSTRACT

This paper is devoted to the uniqueness in inverse acoustic scattering problems for the Helmholtz equation with phaseless far-field data. Some novel techniques are developed to overcome the difficulty of translation invariance induced by a single incident plane wave. In this paper, based on adding a reference ball as an extra artificial impenetrable obstacle (resp. penetrable homogeneous medium) to the inverse obstacle (resp. medium) scattering system and then using superpositions of a fixed plane wave and some point sources as the incident waves, we rigorously prove that the location and shape of the obstacle as well as its boundary condition or the refractive index can be uniquely determined by the modulus of far-field patterns. The reference ball technique in conjunction with the superposition of incident waves brings in several salient benefits. First, the framework of our theoretical analysis can be applied to both the inverse obstacle and medium scattering problems. Second, for inverse obstacle scattering, the underlying boundary condition could be of a general type and be uniquely determined. Finally, only a single frequency is needed.

研究动机与目标

• 解决相位无关反散射中的基本挑战——仅能获取远场数据的强度（模长）信息。
• 克服仅从相位无关远场图案中恢复散射体位置与形状时存在的非唯一性问题。
• 建立一个理论框架，仅利用远场数据的模长信息，唯一确定散射体的几何形状与边界条件（或折射率）。
• 建立统一方法，适用于反障碍物散射与反介质散射问题。
• 实现在单频条件下实现唯一性，避免对多频或多方向数据的依赖。

提出的方法

• 引入一个作为人工障碍物的参考声软球，以打破相位无关散射中的平移不变性。
• 使用固定平面波与多个点源的叠加作为入射场，生成丰富的远场数据。
• 应用互易性关系与远场图案的解析性质，通过反证法推导唯一性。
• 利用格林第二公式与亥姆霍兹方程，在参考球边界上导出积分恒等式。
• 利用复指数相位关系与远场图案的非零性质，排除虚假解。
• 证明：若远场模长相同，则总场相同，从而散射体及其边界条件也相同。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何克服相位无关反散射中的平移不变性，以唯一确定散射体的位置与形状？
• RQ2 能否仅从相位无关远场数据中唯一识别出不可穿透障碍物的边界条件？
• RQ3 是否能够仅利用远场图案的模长信息，唯一重构不可穿透非均匀介质的折射率？
• RQ4 参考球与叠加入射波的组合是否能在障碍物与介质散射问题中均实现唯一性？
• RQ5 是否仅用单频与相位无关远场数据即可实现唯一性？

主要发现

• 参考球技术结合固定平面波与点源的叠加，成功打破了相位无关反散射中的平移不变性。
• 对于包括狄利克雷、诺伊曼与阻抗型在内的广义混合边界条件，障碍物形状及其边界条件的唯一性已得到证明。
• 在所提出的入射波配置下，穿透性介质的折射率可由远场图案的模长唯一确定。
• 仅需单频即可实现唯一性，相较于以往需要多频数据的方法有显著改进。
• 远场图案的解析性质与互易性关系是排除虚假解并证明唯一性的关键工具。
• 该方法在理论上具有鲁棒性，适用于仅含相位无关数据的反障碍物与反介质散射问题。