[论文解读] Uniqueness Theorems for Subharmonic and Holomorphic Functions of Several Variables on a Domain

Б. Н. Хабибуллин, Nargiza Tamindarova|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2016

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文通过测试函数与Riesz测度，建立了一个关于域上多个变量次调和函数的一般唯一性定理，刻画了这些函数在边界附近及紧致子集上的行为如何唯一确定其本身。一个关键结果将此类唯一性推广至全纯函数，表明在增长限制与零点集条件下，全纯函数具有唯一性。

ABSTRACT

We establish a general uniqueness theorem for subharmonic functions of several variables on a domain. A corollary from this uniqueness theorem for holomorphic functions is formulated in terms of the zero subset of holomorphic functions and restrictions on the growth of functions near the boundary of domain.

研究动机与目标

• 在域上建立多个复变量次调和函数的一般唯一性定理。
• 刻画全纯函数在零点集与边界附近增长条件下唯一确定的条件。
• 引入并利用紧致子集外部的测试函数，以控制次调和函数的行为与增长。
• 将次调和函数的唯一性与其Riesz测度以及测试函数对这些测度的可积性联系起来。
• 通过势论与扫除技术，将经典唯一性结果推广至高维域。

提出的方法

• 在 $\operatorname{sbh}_{0}^{+}(D\setminus K)$ 中定义测试函数，使其在 $\partial D$ 上为零，且在 $D\setminus K$ 上有界，以确保在边界与紧致集 $K$ 附近的行为受控。
• 利用与次调和函数 $u$ 关联的Riesz测度 $\nu_u = c_{2n} \Delta u$ 表示其分布意义上的拉普拉斯算子，并将其与势论联系起来。
• 构造一列Jensen型函数 $V_n = \max\{0, V - 1/n\}$，逼近一个在点 $x_0$ 处有极点的极限函数 $V$，该函数满足特定的渐近性与调和性质。
• 在 $\mathbb{R}^m_\infty \setminus \{x_0\}$ 上应用最大值原理与比较原理，以控制 $V_n$ 对Riesz测度 $\nu_u$ 的积分。
• 利用 $V_n \nearrow \frac{1}{c}v$ 在 $D\setminus D_1$ 上的收敛性，以及 $\int_{D\setminus K} v \, d\nu_M < \infty$ 的有限性，推导出 $\int_{D\setminus K} v \, d\nu_u < \infty$。
• 借助扫除与势论估计，将 $u$ 的增长与测试函数的行为及其Riesz测度的支集联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个域上的次调和函数由其Riesz测度与边界附近的性质唯一确定？
• RQ2 如何利用紧致集外部的测试函数刻画多个变量中次调和函数的唯一性？
• RQ3 对全纯函数施加何种增长限制，可确保其由零点集唯一确定？
• RQ4 Riesz测度与扫除技术如何将经典唯一性定理推广至高维域？
• RQ5 积分 $\int_{D\setminus K} v \, d\nu_u$ 的有限性如何与 $\operatorname{sbh}_*(D)$ 中 $u$ 的唯一性相关？

主要发现

• 次调和函数 $u$ 的Riesz测度 $\nu_u$ 是一个Radon测度，其在相对紧致子集上的有限性确保了良好的势论结构。
• 对于 $u \in \operatorname{sbh}_*(D)$，当 $v \in \operatorname{sbh}_0^+(D\setminus K)$ 且 $\int_{D\setminus K} v \, d\nu_M < \infty$（其中 $M$ 为控制函数）时，积分 $\int_{D\setminus K} v \, d\nu_u$ 为有限。
• 构造的函数 $V = \frac{1}{c}\widetilde{v}$ 满足 $\lim_{x \to x_0, x \neq x_0} \frac{V(x)}{|h_m(x - x_0)|} = 1$，确保在 $x_0$ 处具有正确的极点强度。
• 序列 $V_n = \max\{0, V - 1/n\}$ 在 $D\setminus D_1$ 上单调递增收敛于 $\frac{1}{c}v$，从而可应用积分比较原理。
• 通过与 $\int_{D\setminus K} v \, d\nu_M$ 比较，并利用涉及 $\nu_M(D_1 \setminus \overline{B}(x_0,r_0))$ 的有界项，建立了 $\int_{D\setminus K} v \, d\nu_u$ 的有限性。
• 结果表明，若全纯函数的关联Riesz测度对测试函数满足可积性，则其由零点集与增长条件唯一确定。