[论文解读] Unirationality of Ueno-Campana's threefold

Fabrizio Catanese, Keiji Oguiso+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文通过构造一个从 $\mathbb{P}^3$ 到三倍曲面的主导有理映射，证明了 Ueno-Campana 的三倍曲面是有理可约的，该映射基于具有有理截面的二次锥面丛的伽罗瓦商。关键构造涉及将三倍曲面的函数域识别为 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$-作用下的不变子域，然后通过纤维积和域扩张证明其与有理三倍曲面的有理等价性。

ABSTRACT

We shall prove that the threefold studied in the paper "Remarks on an Example of K. Ueno" by F. Campana is unirational. This gives an affirmative answer to a question posed in the paper above and also in the book by K. Ueno, "Classification theory of algebraic varieties and compact complex spaces".

研究动机与目标

• 解决代数几何中关于 Ueno-Campana 三倍曲面在 $\mathbb{C}$ 上的有理性或有理可约性的长期悬而未决问题。
• 证明通过三椭圆曲线商的爆破得到的三倍曲面 $X$ 是有理可约的。
• 通过域不变量与纤维积构造，提供从 $\mathbb{P}^3$ 到 $X$ 的主导有理映射的构造性证明。
• 通过将 $X$ 与 $\mathbb{P}^2$ 上具有有理截面的二次锥面丛联系起来，澄清 $X$ 的有理几何结构。
• 为后续研究 $X$ 是否有理（而不仅仅是无理可约）奠定基础。

提出的方法

• 将三倍曲面 $X$ 的函数域 $k(X)$ 识别为 $Z = C_1 \times C_2 \times C_3$ 上阶为 4 的 $g$-作用下的固定子域 $k(Z)^g$，其中每个 $C_i$ 是具有阶为 4 的 $g$-作用的亏格一曲线。
• 定义子域 $L \subset k(Z)$，由比值 $b_2 = x_2/x_1$，$b_3 = x_3/x_1$，$a_2 = y_2/y_1$，$a_3 = y_3/y_1$ 以及不变量 $u_1 = x_1^2$，$w_1 = y_1^4$，$\lambda_1 = x_1 y_1^2$ 生成。
• 利用伽罗瓦理论证明 $k(X) = L$：$[k(Z):k(X)] = 4$，$[k(Z):L] \leq 4$，且 $L \subset k(X)$，因此 $k(X) = L$。
• 通过恒等式 $y_1^2 = x_1(x_1^2 - 1)$ 证明 $L = k(u_1, b_2, b_3, a_2, a_3)$，即 $w_1$ 和 $\lambda_1$ 可有理地用这些生成元表示。
• 构造一个二次锥面丛 $H \to \mathbb{A}^2_{b,\beta}$，其定义为 $a^2\beta(1 - \beta^2) = \alpha^2 b(1 - b^2) + b\beta(b^2 - \beta^2)$，该丛与 $X$ 有理等价。
• 通过映射 $b = s^2$，$\beta = t^2$，构造纤维积 $Q = H \times_{\operatorname{Spec} k[b,\beta]} \operatorname{Spec} k[s,t]$，得到一个与 $\mathbb{P}^3$ 有理等价的有理三倍曲面 $Q$，且该三倍曲面具有有理截面。

实验结果

研究问题

• RQ1 Ueno-Campana 的三倍曲面 $X$ 在 $\mathbb{C}$ 上是否是有理可约的？
• RQ2 三倍曲面 $X$ 是否可以有理地实现为 $\mathbb{P}^2$ 上具有有理截面的二次锥面丛？
• RQ3 三倍曲面 $X$ 的函数域是否由 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$-作用下的不变量生成，且该生成方式是否可用于构造从 $\mathbb{P}^3$ 到 $X$ 的主导有理映射？
• RQ4 在二次锥面丛的伽罗瓦覆盖中，若存在有理截面，是否意味着原三倍曲面是有理可约的？
• RQ5 是否可以通过与有理基的纤维积构造，证明三倍曲面 $X$ 与有理曲面有理等价？

主要发现

• 三倍曲面 $X$ 是有理可约的：存在一个主导有理映射 $\mathbb{P}^3 \dashrightarrow X$。
• 函数域 $k(X)$ 等于子域 $L = k(u_1, b_2, b_3, a_2, a_3)$，即 $g$-作用下的不变子域。
• 三倍曲面 $X$ 与定义为 $a^2\beta(1 - \beta^2) = \alpha^2 b(1 - b^2) + b\beta(b^2 - \beta^2)$ 的二次锥面丛 $H \to \mathbb{A}^2$ 有理等价，该丛在 $k(b,\beta)$ 上无有理截面。
• 纤维积 $Q = H \times_{\operatorname{Spec} k[b,\beta]} \operatorname{Spec} k[s,t]$ 满足 $b = s^2$，$\beta = t^2$，得到一个与 $\mathbb{P}^3$ 有理等价的有理三倍曲面 $Q$。
• 投影 $Q \to \operatorname{Spec} k[s,t]$ 的一般纤维是一个具有有理点 $(a,\alpha) = (s,t)$ 的圆锥，因此在 $k(s,t)$ 上同构于 $\mathbb{P}^1$，这意味着 $k(Q) \cong k(s,t,v)$。
• 由于 $Q$ 是有理的，且映射 $Q \to H$ 是 4 次有限映射，因此 $H$ 是有理可约的；又因 $H$ 与 $X$ 有理等价，故 $X$ 是有理可约的。