[论文解读] Uniruled varieties with split tangent bundle

Andreas Höring|arXiv (Cornell University)|May 16, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用 32

一句话总结

本文研究具有分裂切丛的射影有理链化流形的结构，证明当直和分量可积时，其万有覆叠分解为流形的积，且切丛拉回到积的切丛。利用Mori理论与Ehresmann定理，本文建立此类流形具有与分裂相容的纤维丛结构，从而在有理链化四fold的特殊情形下解决了某个猜想。

ABSTRACT

Beauville asked if a compact K\"ahler manifold with split tangent bundle has a universal covering that is a product of manifolds. We use Mori theory and elementary results about holomorphic foliations to study this problem for projective uniruled varieties. In particular we obtain an affirmative answer for rationally connected varieties in any dimension and uniruled varieties in dimension 4.

研究动机与目标

• 解决Beauville关于具有分裂切丛的紧致Kähler流形结构的猜想。
• 研究有理链化流形中可积性失效的情形，这是唯一可能导致该猜想结论不成立的情况。
• 建立有理链化流形具有分裂切丛时，其万有覆叠分解为流形积的条件。
• 将已知的切丛分裂结果推广至有理链化情形，特别是在秩为2的因子情形下的四维情形。

提出的方法

• 利用文献中的分类结果，分析具有分裂切丛的有理链化四fold上初等Mori收缩的结构。
• 应用经典Ehresmann定理，从局部纤维丛结构推导出全局积结构。
• 利用形变理论与切丛序列的分裂性，分析纤维中理性曲线及其在万有覆叠上的拉回。
• 运用全纯叶状结构理论与切丛直和分量的可积性条件。
• 通过极小模型程序将问题约化至纤维型收缩情形，重点关注行列式线丛的行为。
• 验证叶状结构叶面上的拉回丛限制为覆盖映射，从而可应用Ehresmann定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有分裂切丛的有理链化流形其万有覆叠可分解为流形的积？
• RQ2 在有理链化情形下，是否可保证切丛直和分量的可积性？若不能，会引发何种结构约束？
• RQ3 纤维中理性曲线的存在性如何与切丛分裂中补全子丛的可积性相关联？
• RQ4 初等Mori收缩在理解具有分裂切丛的流形全局结构中起何种作用？
• RQ5 切丛的分裂在多大程度上意味着存在与分解相容的纤维丛结构？

主要发现

• 对于具有分裂切丛的有理连通流形，若任一分量可积，则该流形微分同构于两个流形的积，且切丛拉回到积的切丛。
• 在具有分裂切丛（秩2+2）的有理链化四fold情形下，若两分量均可积，则万有覆叠分解为积，且每个分量的拉回为对应因子切丛的拉回。
• 具有分裂切丛的有理链化四fold的初等Mori收缩要么是ℙ¹-丛，要么是二次曲面丛，且纤维结构与分裂相容。
• 切丛的分裂在双有理收缩下保持不变，从而可在极小模型程序中约化至纤维型收缩。
• 拉回丛在叶状结构叶面上的限制为覆盖映射，结合Ehresmann定理，意味着万有覆叠具有全局积结构。
• 从第二分量丛到例外除子法丛的典范映射为零，从而允许将例外除子的切空间分解为与第一分量的交和第二分量的和。