[论文解读] Unit Disk Cover Problem

Rashmisnata Acharyya, Manjanna Basappa+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 8被引用 8

一句话总结

本论文提出了一种改进的 (9+ε)-因子近似算法，用于离散单位圆盘覆盖（DUDC）问题，并在半径缩减设置下，为矩形区域覆盖（RRC）问题提供了 2.25-因子近似。该方法利用线性可分 DUDC 子问题的 PTAS 和基于网格的移动策略，实现了优于先前工作的近似比和运行时间。

ABSTRACT

Given a set ${\cal D}$ of unit disks in the Euclidean plane, we consider (i) the {\it discrete unit disk cover} (DUDC) problem and (ii) the {\it rectangular region cover} (RRC) problem. In the DUDC problem, for a given set ${\cal P}$ of points the objective is to select minimum cardinality subset ${\cal D}^* \subseteq {\cal D}$ such that each point in ${\cal P}$ is covered by at least one disk in ${\cal D}^*$. On the other hand, in the RRC problem the objective is to select minimum cardinality subset ${\cal D}^{**} \subseteq {\cal D}$ such that each point of a given rectangular region ${\cal R}$ is covered by a disk in ${\cal D}^{**}$. For the DUDC problem, we propose an $(9+ε)$-factor ($0 < ε\leq 6$) approximation algorithm. The previous best known approximation factor was 15 \cite{FL12}. For the RRC problem, we propose (i) an $(9 + ε)$-factor ($0 < ε\leq 6$) approximation algorithm, (ii) an 2.25-factor approximation algorithm in reduce radius setup, improving previous 4-factor approximation result in the same setup \cite{FKKLS07}. The solution of DUDC problem is based on a PTAS for the subproblem LSDUDC, where all the points in ${\cal P}$ are on one side of a line and covered by the disks centered on the other side of that line.

研究动机与目标

• 将离散单位圆盘覆盖（DUDC）问题的近似因子改进至超越先前最佳已知的 15-因子结果。
• 为矩形区域覆盖（RRC）问题设计一种高效近似算法，并提供可证明的性能保证。
• 为线性可分 DUDC（LSDUDC）子问题设计 PTAS，作为 DUDC 算法的关键组成部分。
• 相较于先前方法，降低 RRC 近似算法的运行时间，特别是在半径缩减设置下。
• 在半径缩减条件下，实现 RRC 问题更紧致的 2.25-因子近似，优于先前的 4-因子结果。

提出的方法

• 为线性可分 DUDC（LSDUDC）问题提出 PTAS，其中所有点位于一条线的一侧，而圆盘中心位于另一侧。
• 采用基于网格的移动策略将矩形区域划分为更小的子区域，从而在候选圆盘的有界集合上应用动态规划。
• 通过仅选择其中心位于网格线或靠近区域边界的顶点的圆盘，构建一个缩减的候选圆盘集合 ${\cal D}_{RS}$，以确保覆盖性的同时限制其规模。
• 对大小为 $O(1/\nu^2)$ 的缩减候选集 ${\cal D}_{RS}$ 进行暴力搜索，以计算 $4 \times 4$ 子区域的最优覆盖。
• 利用 Hochbaum 和 Maass 的移动策略，将 $4 \times 4$ 的解扩展至更大的矩形区域，在半径缩减设置下实现 $2.25$-因子近似。
• 将 LSDUDC 的 PTAS 与圆盘选择机制相结合，构建针对一般 DUDC 问题的 $(9+\epsilon)$-因子近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 DUDC 问题的近似因子改进至超越 Fraser 和 López-Ortiz 的 15-因子结果？
• RQ2 能否利用 LSDUDC 子问题的 PTAS 来设计更优的 DUDC 问题近似算法？
• RQ3 在半径缩减设置下，RRC 问题的最佳可实现近似因子是多少？是否可以高效计算？
• RQ4 与现有算法相比，能否降低 RRC 近似算法的运行时间，特别是在半径缩减模型下？
• RQ5 如何有效应用移动策略于 RRC 问题，以实现低时间复杂度的常数因子近似？

主要发现

• 本论文实现了 DUDC 问题的 $(9+\epsilon)$-因子近似，优于先前最佳的 15-因子结果。
• 所提出的 DUDC 算法运行时间与 Fraser 和 López-Ortiz 的 15-因子算法相当，使其在 $\epsilon = 3$（即 12-因子近似）时具有实际可行性。
• 对于 RRC 问题，本文提出了一种 $(9+\epsilon)$-因子近似算法，时间复杂度为 $O(\max(m^8, m^{4(1+3/\epsilon)}))$。
• 在半径缩减设置下，RRC 问题以 2.25-因子近似求解，优于先前的 4-因子结果。
• 在半径缩减设置下，所提 RRC 算法的运行时间低于 Funke 等人 4-因子算法的运行时间，尤其在半径缩减参数 $\delta = \nu / \sqrt{2}$ 取较小值时表现更优。
• 候选圆盘集合 ${\cal D}_{RS}$ 的大小被限制在 $O(1/\nu^2 + 1/\nu)$，从而可在小区域上实现高效的暴力搜索。