[论文解读] Unit Mixed Interval Graphs

Alan Shuchat, Randy Shull+2 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文通过识别五种禁止图和五个无限禁止族，对无孪生的单位混合区间图进行了结构表征。它提出了一种时间复杂度为二次的算法，利用长度为单位长度但端点类型（开、闭或半开）各异的区间构造混合区间表示，确保仅在相同区间对之间存在真包含关系，且不产生其他真包含关系。

ABSTRACT

In this paper we extend the work of Rautenbach and Szwarcfiter by giving a structural characterization of graphs that can be represented by the intersection of unit intervals that may or may not contain their endpoints. A characterization was proved independently by Joos, however our approach provides an algorithm that produces such a representation, as well as a forbidden graph characterization.

研究动机与目标

• 通过提供完整的禁止子图表征，解决Dourado等人关于混合单位区间图的猜想。
• 为无孪生区间图设计一种高效算法，以构造单位混合区间表示。
• 建立超越传统单位区间图的单位混合区间图的结构表征。
• 确保在表示中仅允许端点完全相同的区间之间存在真包含关系，从而保持单位长度和区间类型完整性。

提出的方法

• 将单位混合区间图定义为可由长度为单位长度的区间（可为开、闭或半开）表示的图，其中邻接关系由非空交集定义。
• 引入一个禁止集 F，包含五个独立图和五个无限的禁止诱导子图族。
• 提出算法17，通过使用颜色编码的扫描（白色/红色）追踪参与情况，迭代地解决区间之间的严格包含关系。
• 采用基于扫描的算法，按排序顺序处理区间端点，通过端点调整识别并解决 ab-对（存在严格包含关系的区间对）。
• 应用一种着色方案：初始时所有端点为白色；在扫描过程中，若端点参与严格包含关系，则变为红色，以防止进一步修改。
• 证明该算法终止后得到一个严格混合区间表示，其中仅相同端点的区间对之间可能存在真包含关系，且图结构保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些区间图可使用等长但端点类型各异的区间，构造出单位混合区间表示？
• RQ2 构成单位混合区间图的完整禁止诱导子图集合是什么？
• RQ3 能否为无孪生区间图设计一种时间复杂度为二次的算法，以构造此类表示？
• RQ4 在允许混合端点类型的情况下，如何保持区间表示的结构特性？

主要发现

• 单位混合区间图的类由一个禁止集 F 表征，F 包含五个独立图和五个无限的禁止诱导子图族。
• 提供了一种时间复杂度为二次的算法，可为任意无孪生且 F-自由的区间图，使用具有混合端点类型的单位长度区间，构造出混合区间表示。
• 该算法确保最终表示中唯一的真包含关系仅出现在端点完全相同的区间对之间，从而保持单位长度和区间类型完整性。
• 该结构表征等价于既是单位图又可表示为混合区间类型（开、闭、半开）的区间图类。
• 该方法正确识别并解决严格包含关系，通过基于扫描的过程，利用基于颜色的状态机制追踪端点参与情况。
• 该方法保证最终表示为严格混合区间表示，且图与原图同构。