[论文解读] Unit Vectors, Morita Equivalence and Endomorphisms

Michael Skeide|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2004

Advanced Operator Algebra Research被引用 5

一句话总结

本文解决了对应理论中的两个基本问题：构造一个希尔伯特模上可 adjointable 算子代数的单位元自同态，使其多重性对应为给定的全或强全对应；以及在希尔伯特空间上找到此类对应的非退化忠实表示。关键贡献在于，对于满足全性的 $W^*$-对应，在 $C^*$-对应中则满足忠实性，提供了完整的解决方案，使用单位向量和莫里塔等价作为核心工具，并将其应用于乘积系统和 $E_0$-半群。

ABSTRACT

We solve two problems in the theory of correspondences that have important implications in the theory of product systems. The first problem is the question whether every correspondence is the correspondence associated (by the representation theory) with a unital endomorphism of the algebra of all adjointable operators on a Hilbert module. The second problem is the question whether every correspondence allows for a nondegenerate faithful representation on a Hilbert space. We also resolve an extension problem for representations of correspondences and we provide new efficient proofs of several well-known statements in the theory of representations of W*-algebras.

研究动机与目标

• 解决第一个问题：给定一个 $C^*$-或 $W^*$-代数 $\mathcal{B}$ 上的全或强全对应 $E$，构造 $\mathscr{B}^a(F)$ 上的一个单位元严格（或正规）自同态 $\vartheta$，使得 $E$ 是 $F_\vartheta$ 的多重性对应。
• 解决第二个问题：给定一个 $\mathcal{B}$ 上的忠实对应 $E$，在希尔伯特空间上找到一个非退化忠实（正规）表示。
• 证明全性（针对问题1）和忠实性（针对问题2）是各自问题可解的充要条件。
• 证明在 $W^*$-情形下，通过冯诺依曼对应共轭构造，问题1与问题2互为对偶。
• 提供 $W^*$-代数表示理论中已知结果的新且初等的证明，以展示所发展方法的强大之处。

提出的方法

• 在希尔伯特和 $W^*$-模中使用单位向量来构造表示并建立莫里塔等价。
• 将 $W^*$-对应和模的莫里塔等价应用于关联表示与自同态。
• 构造一个冯诺依曼 $\mathcal{B}$-模 $F$，使得 $F \bar{\odot}^s E \cong F$，从而在 $\mathscr{B}^a(F)$ 上诱导出一个单位元自同态 $\vartheta$，其多重性为 $E$。
• 通过将 $\mathcal{B}$-模分解为极小理想 $M_n$ 来显式分析其结构，从而将 $F$ 分解为 $\mathfrak{H}_n \otimes \mathbb{C}_n$ 分量。
• 在 $\mathcal{B}'$ 上使用左移位 $\mathscr{S}$ 来描述 $E$ 的交换子，并在 $F^\prime$ 上构造 $E'$ 的表示。
• 建立 $G^\infty$ 与 $E \odot G$ 之间的酉等价，以证明 $F^\prime \bar{\odot}^s E^\prime \cong F^\prime$，从而确认自同态结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个全或强全的 $W^*$-对应 $E$（在 $C^*$-或 $W^*$-代数 $\mathcal{B}$ 上）是否都能作为某个希尔伯特 $\mathcal{B}$-模 $F$ 上的 $\mathscr{B}^a(F)$ 的单位元自同态的多重性对应被实现？
• RQ2 每个在非退化左作用意义下忠实的对应 $E$ 是否都存在一个希尔伯特空间上的非退化忠实（正规）表示？
• RQ3 全性（针对问题1）和忠实性（针对问题2）是否都是各自问题中此类自同态与表示存在的必要且充分条件？
• RQ4 在 $W^*$-情形下，问题1与问题2之间有何关系？这种对偶性是否可通过冯诺依曼对应的交换子构造来表达？
• RQ5 用于解决问题1和问题2的方法是否可用于构造离散乘积系统，并将结果推广到连续时间的 $E_0$-半群？

主要发现

• 本文为强全 $W^*$-对应和单位 $C^*$-代数上的全 $C^*$-对应提供了问题1的完整解，表明此类对应可作为 $\mathscr{B}^a(F)$ 上单位元自同态的多重性对应被实现。
• 对于 $W^*$-对应，问题2的解通过正规表示实现，且忠实性假设是此类表示存在的必要且充分条件。
• 构造一个冯诺依曼 $\mathcal{B}$-模 $F$，使得 $F \bar{\odot}^s E \cong F$，可诱导出 $\mathscr{B}^a(F)$ 上的单位元自同态 $\vartheta$，满足 $F_\vartheta \cong E$，并通过在 $\mathfrak{H}_n$ 上的类移位作用显式实现该自同态。
• 由同构 $F \bar{\odot}^s E \cong F$ 所诱导的自同态 $\vartheta$ 的作用为 $\vartheta(a_1, a_2, \ldots) = (a_1, a_1, a_2, \ldots)$，对应于 $\mathscr{B}^a(F)$ 上单边移位的单位化。
• 证明了 $E$ 的交换子为 $E' = M_1 \oplus {}_{\text{\scriptsize$\mathscr{S}$}}\mathcal{B}'$，且 $E'$ 在 $F^\prime$ 上的表示通过 $\bigoplus_{n\in\mathbb{N}} \mathfrak{H}$ 上的分量作用实现。
• 证明了 $E^\infty$ 在 $G^\infty$ 上的表示与 $G^\infty$ 之间酉等价，从而确认 $F^\prime \bar{\odot}^s E^\prime \cong F^\prime$，并因此将 $\vartheta^\prime$ 实现为 $\mathbf{1}_1 \otimes \mathscr{B}(\mathfrak{H})$ 上作用的加倍。