[论文解读] Unitarity plus causality implies localizability

Pablo Arrighi, Vincent Nesme+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2007

Quantum-Dot Cellular Automata被引用 4

一句话总结

本文证明了，任何在图结构量子系统上、且尊重因果性（有限信号速度）的幺正演化，均可作为最近邻操作的局部量子线路实现。关键结果是一个一般性表示定理，表明幺正性与因果性共同蕴含可局域化，从而弥合了量子细胞自动机（QCA）的公理化方法与构造性方法之间的鸿沟。

ABSTRACT

We consider a graph with a single quantum system at each node. The entire compound system evolves in discrete time steps by iterating a global evolution $U$. We require that this global evolution $U$ be unitary, in accordance with quantum theory, and that this global evolution $U$ be causal, in accordance with special relativity. By causal we mean that information can only ever be transmitted at a bounded speed, the speed bound being quite naturally that of one edge of the underlying graph per iteration of $U$. We show that under these conditions the operator $U$ can be implemented locally; i.e. it can be put into the form of a quantum circuit made up with more elementary operators -- each acting solely upon neighbouring nodes. We take quantum cellular automata as an example application of this representation theorem: this analysis bridges the gap between the axiomatic and the constructive approaches to defining QCA. KEYWORDS: Quantum cellular automata, Unitary causal operators, Quantum walks, Quantum computation, Axiomatic quantum field theory, Algebraic quantum field theory, Discrete space-time.

研究动机与目标

• 建立量子图上幺正因果算符的一般性表示定理。
• 弥合量子细胞自动机（QCA）的公理化定义与其实用化、线路化实现之间的差距。
• 证明满足因果性的全局幺正演化可分解为局部量子操作。
• 将先前关于QCA在1D情形下的结果推广至一般n维情形。
• 为QCA的公理化定义与操作化定义之间的等价性提供严格的理论基础。

提出的方法

• 将量子系统建模为每个节点带有希尔伯特空间的图，定义量子标记图（QLG）。
• 定义作用于系统全希尔伯特空间的全局幺正演化 $ U $，要求其满足幺正性与因果性。
• 将因果性形式化为：在时间 $ t' $ 时某节点的状态仅依赖于时间 $ t $ 时其邻居的状态，且每步最多传播一个边的距离。
• 利用谱理论与幺正算符的结构，证明 $ U $ 可分解为作用于每个节点及其邻居的局部幺正算符的乘积。
• 构造分解 $ U = (igotimes D^ op)(igotimes K_x)(igotimes E) $，其中 $ D $、$ E $ 和 $ K_x $ 为局部算符。
• 将结果应用于量子细胞自动机，证明公理化QCA定义蕴含线路化实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过局部量子操作实现尊重因果性的量子图上的幺正演化？
• RQ2 n维量子细胞自动机的公理化定义是否蕴含构造性、线路化的实现？
• RQ3 是否存在一个关于幺正因果算符的一般性表示定理，能将其分解为局部分量？
• RQ4 在高维情形下，QCA的公理化方法与构造性方法之间有何关系？
• RQ5 ‘因果性蕴含可局域化’的原则能否超越幺正与离散模型进行推广？

主要发现

• 任何在量子图上满足因果性的幺正演化，均可分解为作用于每个节点及其邻居的局部幺正算符的乘积。
• 全局幺正算符 $ U $ 可表示为 $ (igotimes D^ op)(igotimes K_x)(igotimes E) $，其中 $ D $、$ E $ 和 $ K_x $ 分别为每个节点及其邻域的局部算符。
• 幺正因果算符的逆算符仍为幺正且因果，保持演化结构的物理特性。
• 该结果推广了先前在1D QCA中的发现，并将Schumacher与Werner的工作扩展至任意维度。
• 公理化QCA定义（如Schumacher与Werner所述）与构造性、分块结构QCA定义（如Perez与Cheung所述）在辅助自由度的允许下等价。
• 该定理为在物理原理下对全局幺正演化提供严格的运行描述，使实际模拟与分析成为可能。