[论文解读] Unitary designs from statistical mechanics in random quantum circuits

Nicholas Hunter-Jones|arXiv (Cornell University)|May 28, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 51被引用 61

一句话总结

本文将局部随机量子电路的框架势映射到一个晶格分区函数，给出第二矩的精确结果，并论证随机电路在深度 O(nk) 下形成近似单位群 k-设计（包含改进与猜想）。

ABSTRACT

Random quantum circuits are proficient information scramblers and efficient generators of randomness, rapidly approximating moments of the unitary group. We study the convergence of local random quantum circuits to unitary $k$-designs. Employing a statistical mechanical mapping, we give an exact expression of the distance to forming an approximate design as a lattice partition function. In the statistical mechanics model, the approach to randomness has a simple interpretation in terms of domain walls extending through the circuit. We analytically compute the second moment, showing that random circuits acting on $n$ qudits form approximate 2-designs in $O(n)$ depth, as is known. Furthermore, we argue that random circuits form approximate unitary $k$-designs in $O(nk)$ depth and are thus essentially optimal in both $n$ and $k$. We can show this in the limit of large local dimension, but more generally rely on a conjecture about the dominance of certain domain wall configurations.

研究动机与目标

• 通过矩分析理解局部随机量子电路如何收敛到单位群 k-设计。
• 提供框架势的精确晶格维映射到一个分区函数。
• 给出形成2-设计及一般k-设计的深度缩放规律，表示为 n、k 和局部维度 q 的函数。

提出的方法

• 把随机量子电路的 k 阶框架势映射到一个自旋系统的分区函数，该自旋系统在三角/六边晶格上具有 S_k 自旋。
• 使用 Haar 积分和 Weingarten 计算来推导有效顶点权重和域壁解释。
• 精确计算第二个框架势，并将非零配置解释为晶格模型中的域壁。
• 证明二设计深度为 t2 = C(2n log q + log n + log(1/epsilon))，其中常数 C 是可计算的。
• 并论证在局部维度趋于无穷大时，通常的设计深度 t_k = O(nk)，并在有限 q 时猜测上界为 nk + k log k + log(1/epsilon)。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机量子电路形成近似2-设计所需的深度是多少？它如何随系统尺寸 n 和局部维度 q 变化？
• RQ2 如何将随机量子电路的框架势表达为晶格分区函数，在此映射中域壁表示什么？
• RQ3 形成近似单位群 k-设计所需的深度随 n、k 和 q 的变化关系是怎样的？
• RQ4 更高矩（k>2）配置在设计形成中的影响程度有多大，在何种猜想下，首要的域壁贡献可以界定整体行为？
• RQ5 随机量子电路在设计深度方面是否在以 n 和 k 为线性下界的意义上基本是最优的？

主要发现

• RQCs 的 k-th 框架势可以被精确写成在六边形/三角晶格上具有 S_k 自旋且带有时间周期边界条件的自旋系统的分区函数。
• 当 k = 2 时，非零配置对应于将恒等置换与交换置换区域分隔开的域壁，从而实现对第二设计深度的精确计算。
• 第二设计深度的缩放为 t2 ≥ C(2n log q + log n + log(1/ε))，其中可计算的常数 C = (log((q^2+1)/(2q)))^{-1}；特别地，当 q = 2 时 t2 约等于 6.2 n，且当 q → ∞ 时趋近于 2n。
• 对于一般的 k，首要贡献来自域壁配置的一个简单扇区，使得在大局部维度极限下结果为 t_k = O(nk)。
• 在有限 q 下，若简单扇区主导多域壁项的猜想成立，则随机电路在深度 nk + k log k + log(1/ε) 下形成 ε-近似的 k-设计。
• 对设计深度的下界线性地依赖于 n 和 k，表明随机量子电路本质上是单位群 k-设计的最优实现。