[论文解读] Unitary equivalence classes of split-step quantum walks

Akihiro Narimatsu, Hiromichi Ohno+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文通过引入满足特定秩和支撑条件的广义量子行走类，建立了分裂步量子行走（SSQW）的酉等价类。证明了铃木的SSQW酉等价于具有实参数的规范形式，从而将分类问题简化为两个实值函数 $ p_x, a_x \in \mathbb{R} $，并表明酉等价成立当且仅当这些函数完全相同。

ABSTRACT

This study investigates the unitary equivalence of split-step quantum walks (SSQW). We consider a new class of quantum walks which includes all SSQWs. We show the explicit form of quantum walks in this class, and clarify their unitary equivalence classes. Unitary equivalence classes of Suzuki's SSQW are also given.

研究动机与目标

• 定义一个广义的量子行走类，包含所有已知的分裂步量子行走（SSQW）变体，如 Kitagawa 和铃木的公式。
• 澄清该广义类的酉等价类，从而实现将复杂参数空间约化为规范代表。
• 确定两个SSQW在何种精确条件下是酉等价的，尤其关注铃木的公式。
• 研究手征对称性在SSQW中的作用及其与酉等价结构的关系。

提出的方法

• 在 $ \mathcal{H} = \ell^2(\mathbb{Z}) \oplus \ell^2(\mathbb{Z}) $ 上定义一个酉算符 $ U $，满足 $ U\mathcal{H}_x \subset \mathcal{H}_{x-1} \oplus \mathcal{H}_x \oplus \mathcal{H}_{x+1} $ 且 $ \text{rank}(P_{x\pm1} U P_x) \leq 1 $，以保证局域传播结构。
• 以狄拉克符号表示量子行走为 $ U = \sum_x |\xi_1^x\rangle\langle\zeta_1^x| + |\xi_2^x\rangle\langle\zeta_2^x| $，其中向量位于相邻站点并构成正交基。
• 引入一个规范形式 $ U_{p,r,\theta,\kappa} $，使用复相位 $ e^{i\theta_x}, e^{i\kappa_x} $ 和实振幅 $ p_x, r_x \in [0,1] $，并在振幅为零时规定相位约定。
• 通过酉变换消除冗余的相位参数 $ \theta_x, \kappa_x $，表明仅 $ p_x, r_x \in \mathbb{R} $ 和 $ \theta_x, \kappa_x \in [0,2\pi) $ 是本质的，且每个站点可消除一个相位。
• 应用酉等价定理，证明两个此类行走酉等价当且仅当它们的 $ p_x, r_x $ 函数完全相同。
• 专门化到铃木的SSQW，其中 $ p_x, a_x \in \mathbb{R} $，$ q_x, b_x \in \mathbb{C} $，并证明 $ q_x, b_x $ 中的复相位可被规范消除，从而约化为 $ U_{p,a} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足局域传播和秩约束的广义分裂步量子行走类，其完整的酉等价类集合是什么？
• RQ2 在酉等价下，铃木SSQW的参数空间如何简化，特别是关于哈密顿和移位算符中复相位的处理？
• RQ3 在何种条件下两个分裂步量子行走是酉等价的，且这种等价性是否可完全由实值函数表征？
• RQ4 规范形式 $ U_{p,r,\theta,\kappa} $ 是否能涵盖所有可能的SSQW，且手征对称性是否可在此分类中识别？
• RQ5 反之是否成立：若一个规范形式中的行走具有手征对称性，则其是否必为铃木型SSQW？

主要发现

• 满足支撑和秩条件的广义量子行走类可表示为规范形式 $ U_{p,r,\theta,\kappa} $，其由 $ p_x, r_x \in [0,1] $ 和 $ \theta_x, \kappa_x \in [0,2\pi) $ 参数化，且每个站点可消除一个相位参数。
• 铃木的SSQW酉等价于仅含实参数 $ p_x, a_x \in \mathbb{R} $ 的规范形式 $ U_{p,a} $，意味着哈密顿和移位算符中的复相位可通过酉变换消除。
• 两个行走 $ U_{p,a} $ 和 $ U_{p',a'} $ 酉等价当且仅当对所有 $ x \in \mathbb{Z} $ 有 $ p_x = p'_x $ 且 $ a_x = a'_x $，从而建立了完整分类。
• 一个行走的酉等价类完全由实值函数 $ p_x $ 和 $ a_x $ 决定，等价类中不再存在剩余的相位自由度。
• 行走 $ U_{p,r,\theta,\kappa} $ 具有手征对称性当且仅当其为铃木型SSQW，尽管其逆命题仍为开放问题。
• 规范形式 $ U_{p,r,\theta,\kappa} $ 提供了最小参数化：每个站点四个实参数，经规范固定后可约简为每个站点两个实参数。