[论文解读] Unitary evolution, canonical variables and vacuum choice for general quadratic Hamiltonians in spatially homogeneous and isotropic space-times

Sandro D. P. Vitenti|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect被引用 5

一句话总结

本文確立了在空間均勻且各向同性時空中的自由標量場，透過特定規範變數的選擇，其時間演化可實現幺正化的條件。透過分析時變線性規範變換並運用作用量-角度變數的漸近方法，推導出一組唯一的規範變數，確保時間演化的幺正性，推廣了絕熱真空條件，並連結至即時哈密頓量對角化與場濾波（field smearing）現象。

ABSTRACT

Quantization of arbitrary free scalar fields in spatially homogeneous and isotropic space-times is considered. The quantum representation allowing a unitary evolution for the fields is taken as a requirement for the theory. Studying the group of linear canonical transformations, we show the relations between unitary evolution and choice of canonical variables. From these relations we obtain the conditions on the Hamiltonian such that there are canonical variables for which the field has unitary evolution. We then compute the linear transformation leading to these variables, also proving that they are unique. We obtain these results by developing the asymptotic analysis of the fields using the action angle variables, which proves to be a generalization of the usual Wentzel-Kramers-Brillouin approximation. These tools allow us to re-frame the adiabatic vacuum condition in a extensible format by using the action angle variables to relate these vacuum choices to those where the particle number density does not depend on angle (fast) variables. Finally, we develop a larger set of canonical variables relating the adiabatic vacuum conditions with the smearing of the quantum fields. This set of canonical variables also connects the adiabatic vacuum conditions with the instantaneous Hamiltonian diagonalization vacuum choice.

研究动机与目标

• 識別一般二次哈密頓量在空間均勻且各向同性時空中存在幺正時間演化的必要條件。
• 確立實現此類哈密頓量幺正演化的唯一規範變數集合。
• 透過作用量-角度變數漸近分析，推廣絕熱真空條件，連結至快速變數上粒子數的獨立性。
• 透過規範變數的選擇，連結絕熱真空選擇與即時哈密頓量對角化真空及場濾波性質。

提出的方法

• 分析時變線性規範變換（LCTs），將幺正演化與規範變數的選擇關聯起來。
• 應用漸近分析，使用作用量-角度變數，將Wentzel-Kramers-Brillouin（WKB）近似推廣至時變系統。
• 透過分部積分推導相位與振幅修正的積分近似，保留一階非振盪項。
• 利用頻率 ν 與背景演化，分類微擾展開中振盪與非振盪貢獻。
• 構造一組規範變數，透過消除哈密頓量演化中的非振盪項，確保時間演化的幺正性。
• 將所得真空選擇與作用量-角度變數行為下的絕熱真空關聯，並連結至即時哈密頓量對角化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在空間均勻且各向同性時空中，自由標量場的哈密頓量需滿足何種條件，才能實現幺正時間演化？
• RQ2 何種唯一的規範變數集合可確保此類系統的幺正演化？
• RQ3 如何利用作用量-角度變數推廣絕熱真空條件，以描述快速變數上粒子數的獨立性？
• RQ4 透過規範變數的選擇，絕熱真空、場濾波與即時哈密頓量對角化之間有何關聯？
• RQ5 微擾展開中非振盪項在決定正確規範變數以實現幺正演化時扮演何種角色？

主要发现

• 在空間均勻且各向同性背景中，自由標量場的時間演化存在唯一一組規範變數，使其可實現幺正化。
• 幺正演化的條件等價於相位與振幅修正的一階微擾展開中，非振盪項的缺失。
• 透過作用量-角度變數，絕熱真空條件被推廣，其中粒子數密度與快速（角度）變數無關。
• 透過漸近方法推導出的規範變數對應於即時哈密頓量對角化真空，確立了真空選擇之間的直接連結。
• 轉換至這些規範變數可確保哈密頓量演化的幺正性，且該方法提供了一種系統性方式，依 ν⁻¹ 階數逐步計算。
• 在 δφ 修正中識別出非振盪項（例如 −∫( ̇ξ² / 2ν ) dt）為一階精度的關鍵，必須保留以達成幺正演化。