[论文解读] Unitary k-designs from random number-conserving quantum circuits

Sumner N. Hearth, Michael O. Flynn+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2023

Mathematical Approximation and Integration被引用 4

一句话总结

该论文证明，随机数守恒量子电路在数守恒酉群上生成单位酉k-设计，收敛深度按 $ au \gtrsim kL^{d+2}$ 缩放，其中 $d$ 为空间维度。通过构建一个 $k$-重复制的统计力学模型，论文表明，由自发破缺的 $U(1)$ 对称性产生的无能隙戈尔德斯通模式控制了收敛的缓慢过程，并证明了直到 $k_c = O(L^d)$ 的有限矩与哈尓测度不可区分。

ABSTRACT

Local random circuits scramble efficiently and accordingly have a range of applications in quantum information and quantum dynamics. With a global $U(1)$ charge however, the scrambling ability is reduced; for example, such random circuits do not generate the entire group of number-conserving unitaries. We establish two results using the statistical mechanics of $k$-fold replicated circuits. First, we show that finite moments cannot distinguish the ensemble that local random circuits generate from the Haar ensemble on the entire group of number-conserving unitaries. Specifically, the circuits form a $k_c$-design with $k_c = O(L^d)$ for a system in $d$ spatial dimensions with linear dimension $L$. Second, for $k < k_c$, we derive bounds on the depth $τ$ required for the circuit to converge to an approximate $k$-design. The depth is lower bounded by diffusion $k L^2 \ln(L) \lesssim τ$. In contrast, without number conservation $τ\sim ext{poly}(k) L$. The convergence of the circuit ensemble is controlled by the low-energy properties of a frustration-free quantum statistical model which spontaneously breaks $k$ $U(1)$ symmetries. We conjecture that the associated Goldstone modes set the spectral gap for arbitrary spatial and qudit dimensions, leading to an upper bound $τ\lesssim k L^{d+2}$.

研究动机与目标

• 确定随机数守恒量子电路在数守恒酉群上收敛至 $k$-设计所需的深度。
• 理解 $U(1)$ 守恒与扩散电荷输运如何影响随机电路逼近酉设计的收敛速率。
• 分析在复制电路模型中，由 $k$ 重 $U(1)$ 对称性自发破缺产生的低能激发——特别是无能隙戈尔德斯通模式——在其中的作用。
• 利用变分法与统计力学技术，推导出 $k$-设计收敛深度 $\tau$ 的严格下限。
• 建立电路系综的有限矩与完整数守恒酉群上哈尓测度在 $k_c = O(L^d)$ 以内不可区分的结论。

提出的方法

• 构建一个 $k$-重复制电路模型，以计算编码电路酉矩阵所有 $(k,k)$ 阶矩的 $k$-阶矩算符 $\hat{T}_k^{U_t}$。
• 将问题映射为一个无反铁磁性的量子统计模型，包含 $k$ 个系统的副本和 $k$ 个共轭 $*$-复制品，每个副本均携带守恒的 $U(1)$ 电荷。
• 识别复制哈密顿量的低能谱，表明其因 $U(1)^k$ 对称性自发破缺而支持无能隙戈尔德斯通模式。
• 利用电路系综与哈尓测度之间重叠的变分界，推导出收敛深度 $\tau$ 的下限。
• 采用配分函数方法，对戈尔德斯通模式的激发态求和，表明高占据数与高动量模式被指数抑制。
• 推导出收敛至 $\varepsilon$-近似 $k$-设计的渐近下界 $\tau \gtrsim kL^{d+2}$，该结果与仅由最低能戈尔德斯通模式贡献的一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机数守恒量子电路在数守恒酉群上形成 $\varepsilon$-近似 $k$-设计所需的最小深度 $\tau$ 是多少？
• RQ2 $U(1)$ 守恒如何改变随机电路相对于无约束酉电路的收敛速率？
• RQ3 由 $U(1)^k$ 对称性自发破缺产生的无能隙戈尔德斯通模式在电路系综收敛动力学中起多大作用？
• RQ4 当 $k < k_c$ 时，电路系综的有限矩是否与完整数守恒酉群上的哈尓测度不可区分？
• RQ5 收敛的主导贡献是否来自最低能戈尔德斯通模式，还是高动量或高占据数模式也具有显著影响？

主要发现

• 该电路系综在数守恒酉群上形成 $k$-设计，直至 $k_c = O(L^d)$，意味着该 $k$ 以内所有有限矩均与哈尓测度不可区分。
• 收敛深度按 $\tau \gtrsim kL^{d+2}$ 缩放，慢于无数守恒情况下的 $\tau \gtrsim kL^d$ 缩放。
• 收敛缓慢由 $k$-重复制模型中 $U(1)^k$ 对称性自发破缺产生的无能隙戈尔德斯通模式所主导。
• 收敛速率的主导贡献来自最低能戈尔德斯通模式；高动量与高占据数模式被指数抑制。
• 推导出的 $\tau$ 下限与仅由最低能模式贡献所预测的渐近行为一致，证实了其在收敛动力学中的主导作用。
• 结果通过复制统计模型中的变分界与配分函数方法推导得出，且推测在任意空间维度与哑量维度下均为紧致界。