[论文解读] Unitary Property Testing Lower Bounds by Polynomials

Adrian She, Henry Yuen|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 3

一句话总结

本文提出了一种广义多项式方法，用于证明在幺正性质测试（unitary property testing）中的查询复杂度下界，这是一种量子模型，其中算法通过查询幺正算符来判定量子性质。通过利用不变量理论，该方法为诸如遍历时间估计、纠缠熵近似以及纠缠子空间问题等难题建立了紧致的下界，为实现QMA与QMA(2)之间的预言机分离提供了可能路径。

ABSTRACT

We study unitary property testing, where a quantum algorithm is given query access to a black-box unitary and has to decide whether it satisfies some property. In addition to containing the standard quantum query complexity model (where the unitary encodes a binary string) as a special case, this model contains "inherently quantum" problems that have no classical analogue. Characterizing the query complexity of these problems requires new algorithmic techniques and lower bound methods. Our main contribution is a generalized polynomial method for unitary property testing problems. By leveraging connections with invariant theory, we apply this method to obtain lower bounds on problems such as determining recurrence times of unitaries, approximating the dimension of a marked subspace, and approximating the entanglement entropy of a marked state. We also present a unitary property testing-based approach towards an oracle separation between $\mathsf{QMA}$ and $\mathsf{QMA(2)}$, a long standing question in quantum complexity theory.

研究动机与目标

• 开发一种新的量子查询复杂度下界技术，用于幺正性质测试，该模型将经典查询复杂度推广至幺正算符等量子对象。
• 解决在经典世界中无对应物的固有量子问题，例如估计幺正算符的遍历时间或其纠缠熵。
• 探索幺正性质测试、不变量理论与量子复杂度类（特别是QMA和QMA(2)）之间的联系。
• 研究利用幺正性质测试作为框架，实现QMA与QMA(2)之间预言机分离的可能性。
• 为基本量子问题（包括维度近似与纠缠熵估计）建立紧致的查询复杂度下界。

提出的方法

• 开发一种广义多项式方法，将经典多项式方法扩展至幺正查询模型，使用洛朗多项式与基于迹的近似。
• 应用不变量理论中的工具分析幺正不变与局部幺正不变的性质，实现对称性感知的下界分析。
• 采用猜测引理与混合论证技术，通过迹范数与欧氏距离，界定向不同预言机下态演化之间的差异。
• 利用温格登计算（Weingarten calculus）计算哈尓随机态张量积的期望值，这对分析平均情况行为至关重要。
• 利用线性规划对偶性与对偶多项式构造，证明接受概率多项式次数的下界。
• 提出一种针对具有量子见证的量子算法的对称化技术，使能够分析具有纠缠态的QMA型验证者。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否发展一种广义多项式方法，用于证明在输入为幺正算符的幺正性质测试中，查询复杂度的下界？
• RQ2 估计幺正算符的遍历时间与近似标记子空间维度的查询复杂度下界是什么？
• RQ3 能否高效近似标记态的纠缠熵？其查询复杂度的限制是什么？
• RQ4 是否可利用幺正性质测试实现QMA与QMA(2)之间的预言机分离？
• RQ5 是否存在具有非幺正对称性的自然量子查询问题，可使用此广义方法进行分析？

主要发现

• 广义多项式方法为近似幺正算符的遍历时间建立了Ω(√d)的下界，与已知上界仅相差对数因子。
• 在BQP设置下，该方法为纠缠熵问题证明了Ω(√d)的下界，表明在无更强假设下，高效近似可能性较低。
• 在QMA设置下，通过使用对称化与混合态分析，为遍历时间问题建立了Ω(√d / ε)的下界。
• 本文表明，任何用于纠缠子空间问题的QMA验证者，要么需要超多项式数量的查询，要么需要超多项式大小的见证，暗示QMA与QMA(2)之间可能存在预言机分离。
• 命题6.6中的反例在维度2至5范围内被证明是紧致的，表明纠缠子空间问题在低维情况下已具难度。
• 通过广义多项式方法，证明了纠缠子空间问题在QCMA中的下界，表明即使使用经典见证也无法高效解决该问题。