[论文解读] Unitary transformation of the electronic Hamiltonian with an exact quadratic truncation of the Baker-Campbell-Hausdorff expansion

Robert A. Lang, Ilya G. Ryabinkin+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种针对电子哈密顿量的新单位变换方法，通过使用反对易泡利算符积的对合线性组合（ILC）对Baker-Campbell-Hausdorff展开进行精确的二次截断。该方法保持了哈密顿量的厄米性，以经典方式嵌入强电子关联效应，并显著降低了变分量子本征求解器（VQE）应用中的量子资源需求，相较于传统方法，在LiH、H₂O和N₂体系中展现出更高的效率。

ABSTRACT

Application of current and near-term quantum hardware to the electronic structure problem is highly limited by qubit counts, coherence times, and gate fidelities. To address these restrictions within the variational quantum eigensolver (VQE) framework, many recent contributions have suggested dressing the electronic Hamiltonian to include a part of electron correlation, leaving the rest to be accounted by VQE state preparation. We present a new dressing scheme that combines preservation of the Hamiltonian hermiticity and an exact quadratic truncation of the Baker-Campbell-Hausdorff expansion. The new transformation is constructed as the exponent of an involutory linear combination (ILC) of anti-commuting Pauli products. It incorporates important strong correlation effects in the dressed Hamiltonian and can be viewed as a classical preprocessing step alleviating the resource requirements of the subsequent VQE application. The assessment of the new computational scheme for electronic structure of the LiH, H$_2$O, and N$_2$ molecules shows significant increase in efficiency compared to conventional qubit coupled cluster dressings.

研究动机与目标

• 降低变分量子本征求解器（VQE）在电子结构计算中的量子资源需求。
• 开发一种保持哈密顿量厄米性的单位变换，同时嵌入强电子关联效应。
• 通过反对易泡利算符积的对合线性组合（ILC）实现Baker-Campbell-Hausdorff展开的精确二次截断。
• 提供一种经典高效的预处理步骤，减轻VQE中对深量子线路的依赖。
• 在LiH、H₂O和N₂等小分子体系中，展示出在基态能量估算方面更高的效率与精度。

提出的方法

• 该方法构建单位变换为反对易泡利算符积的对合线性组合（ILC）的指数形式，确保BCH展开的精确二次截断。
• 将ILC单位变换应用于参考计算基态（斯莱特行列式），通过单个参数τ的三角函数生成正交组态的叠加。
• 将能量最小化问题重述为N+1个正交态子空间中的标准正交特征值问题，矩阵元通过布洛赫角的三角多项式在经典层面计算。
• 通过与矩阵M的逐元素相乘引入虚数相位校正，当参考态发生松弛时，将问题转化为非正交基底下的广义特征值系统。
• 采用两步迭代MCSCF类过程，交替优化ILC振幅与布洛赫角，在每次迭代中更新子空间基底，直至收敛。
• 该方法可从基态特征向量中经典计算最优参数τ与αi，其中τ通过arccos(c₁)提取，αi通过c_{j}/sin(τ)获得。

Figure 1: a) PECs for the ground state CAS( $2$ e, $2$ o) LiH dissociation in different methods. QCC(5) ansatz uses the bare qubit Hamiltonian and 5 entanglers ( $\hat{x}_{1}\hat{y}_{3}$ , $\hat{x}_{1}\hat{y}_{3}\hat{x}_{4}$ , $\hat{x}_{1}\hat{x}_{2}\hat{y}_{3}x_{4}$ , $\hat{x}_{1}\hat{y}_{2}\hat{x}

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持哈密顿量厄米性的单位变换中，实现Baker-Campbell-Hausdorff展开的精确二次截断？
• RQ2 反对易泡利算符积的对合线性组合（ILC）能否有效在经典层面将强电子关联效应嵌入哈密顿量？
• RQ3 该变换是否能显著降低分子电子结构在VQE中的量子线路深度与量子比特需求？
• RQ4 与传统量子比特耦合簇修饰方法相比，该方法在能量精度与收敛效率方面表现如何？
• RQ5 该方法能否推广至松弛参考态，同时保持数值稳定性与精度？

主要发现

• 所提出的QCC-ILC变换在保持哈密顿量厄米性的同时，实现了BCH展开的精确二次截断。
• 该方法通过在N+1个正交态的小子空间中求解多项式规模的特征值问题，实现了最优单位变换的经典计算。
• 在LiH、H₂O和N₂体系中，该方法在VQE应用中相比传统量子比特耦合簇修饰方法展现出显著的效率提升。
• 最优参数τ与αi从基态特征向量中提取，其中τ = arccos(c₁)，α_{j-1} = c_j / sin(τ)，由于τ=0处能量梯度非零，τ被保证不为零。
• 迭代MCSCF类过程收敛至松弛参考态与优化的ILC振幅，非正交基态通过广义特征值公式处理。
• 该方法提供了一种经典高效的预处理步骤，通过在量子线路执行前嵌入强关联效应，显著减轻了VQE中的量子资源负担。

Figure 2: a) PECs for the ground state of CAS( $4$ e, $4$ o) H 2 O along the symmetric bond stretch in different methods. QCC(5) employs the spin-penalized Hamiltonian and 5 entanglers ( $\hat{x}_{2}\hat{y}_{3}\hat{x}_{5}\hat{x}_{6}$ , $\hat{x}_{2}\hat{y}_{3}\hat{x}_{4}\hat{x}_{5}$ , $\hat{x}_{1}\ha