[论文解读] Univariate Contraction and Multivariate Desingularization of Ore Ideals

Yi Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的算法，用于在 $ R[x][\partial] $ 中计算 Ore 理想的单变量约化，其中 $ R $ 是一个主理想整环，利用去奇化算子。该文提出了完全去奇化算子的概念，并提供了一种方法，通过 Gröbner 基技术检测并消除多元 D-有限系统中的表观奇点，从而实现对整数序列的认证以及对 Krattenthaler 猜想特殊情形的验证。

ABSTRACT

Ore operators with polynomial coefficients form a common algebraic abstraction for representing D-finite functions. They form the Ore ring $K(x)[D_x]$, where $K$ is the constant field. Suppose $K$ is the quotient field of some principal ideal domain $R$. The ring $R[x][D_x]$ consists of elements in $K(x)[D_x]$ without "denominator". Given $L \in K(x)[D_x]$, it generates a left ideal $I$ in $K(x)[D_x]$. We call $I \cap R[x][D_x]$ the univariate contraction of $I$. When $L$ is a linear ordinary differential or difference operator, we design a contraction algorithm for $L$ by using desingularized operators as proposed by Chen, Jaroschek, Kauers and Singer. When $L$ is an ordinary differential operator and $R = K$, our algorithm is more elementary than known algorithms. In other cases, our results are new. We propose the notion of completely desingularized operators, study their properties, and design an algorithm for computing them. Completely desingularized operators have interesting applications such as certifying integer sequences and checking special cases of a conjecture of Krattenthaler. A D-finite system is a finite set of linear homogeneous partial differential equations in several variables, whose solution space is of finite dimension. For such systems, we give the notion of a singularity in terms of the polynomials appearing in them. We show that a point is a singularity of the system unless it admits a basis of power series solutions in which the starting monomials are as small as possible with respect to some term order. Then a singularity is apparent if the system admits a full basis of power series solutions, the starting terms of which are not as small as possible. We prove that apparent singularities in the multivariate case can be removed like in the univariate case by adding suitable additional solutions to the original system.

研究动机与目标

• 开发一种算法，用于计算由 $ \mathbb{K}(x)[\partial] $ 中的线性常微分或差分算子生成的 Ore 理想 $ I \cap R[x][\partial] $ 的单变量约化。
• 定义并计算具有最小次数与内容的完全去奇化算子，以改进 D-有限函数的代数运算。
• 利用形式幂级数解与项序，对多元 D-有限系统中的奇点与表观奇点进行代数表征。
• 提供一种算法化方法，通过添加适当解，检测并消除多元 D-有限系统中的表观奇点。
• 为将单变量约化技术推广至多元 Ore 代数 $ R[\mathbf{x}][\boldsymbol{\partial}] $ 奠定基础，并提出关于约化理想生成元阶数的一般上界之开放问题。

提出的方法

• 采用 Chen、Jaroschek、Kauers 与 Singer 提出的去奇化算子，以在 $ R[x][\partial] $ 中实现无分母表示。
• 在主理想整环 $ R $ 上计算 Gröbner 基，以确定约化理想并分析初始指数候选。
• 基于 Gröbner 基中每个生成元的指标，利用单项式的项序，定义初始指数候选集 $ S $。
• 通过将原理想与由 $ \{x_i\partial_i - s_i\} $ 生成的理想相交，构造新的 Gröbner 基 $ M $，其中 $ (s_1, \dots, s_n) \notin S $。
• 利用所得 Gröbner 基 $ M $ 的首项特征（HC）判断奇点是否为表观奇点：若 $ \operatorname{HC}(M) $ 包含非零常数，则该点为正则点。
• 应用定理 4.4.6 对奇点进行分类：若存在一个完整的幂级数解基，但其起始单项式非最小，则该点为表观奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何高效计算由线性常微分或差分算子生成的 Ore 理想 $ I \cap R[x][\partial] $ 的单变量约化？
• RQ2 完全去奇化算子的结构与算法计算方法为何？它们如何改进 D-有限函数的表示？
• RQ3 如何利用形式幂级数解与项序，代数表征多元 D-有限系统中的奇点？
• RQ4 如何通过算法检测并消除多元 D-有限系统中的表观奇点？
• RQ5 在多元情况下，约化理想生成元阶数的一般上界是什么？如何计算这些上界？

主要发现

• 当 $ R = \mathbb{K} $（常数域）时，该单变量约化算法比已知方法更为基础，并适用于微分与差分算子。
• 引入了完全去奇化算子，并证明其在整数序列认证与 Krattenthaler 猜想特殊情形验证中具有有效性。
• 若在给定项序下，不存在起始单项式尽可能小的幂级数解基，则该点为 D-有限系统的奇点。
• 当存在这样的解基但起始单项式非最小时，即为表观奇点，且可通过向系统添加适当解来消除此类奇点。
• 在例 4.4.14 中，系统 $ G $ 的原点是表观奇点，因为 $ \operatorname{HC}(M) = \{-2 - x_1^2 - 2x_1x_2 - x_2^2\} $，表明 $ M $ 的该点为正则点，而 $ G $ 的起始项非最小。
• 在例 4.4.13 中，系统 $ G $ 的原点不是表观奇点，因为 $ \operatorname{HC}(M) $ 包含非常数多项式，意味着该奇点为真实奇点。