[论文解读] Universal Bound on Sampling Bosons in Linear Optics

Man‐Hong Yung, Xun Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2016

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文推导出线性光学网络中玻色子采样过渡振幅的通用上界，使多项式时间随机算法能够以高精度估计这些振幅。该上界基于广义Glynn估计器推导得出，解决了Aaronson与Hance（2012）提出的关于高效永久量近似的问题，将先前仅限于玻色子采样场景的工作扩展至一般Fock态跃迁。

ABSTRACT

In linear optics, photons are scattered in a network through passive optical elements including beamsplitters and phase shifters, leading to many intriguing applications in physics, such as Mach-Zehnder interferometry, Hong-Ou-Mandel effect, and tests of fundamental quantum mechanics. Here we present a general analytic expression governing the upper limit of the transition amplitudes in sampling bosons, through all realizable linear optics. Apart from boson sampling, this transition bound results in many other interesting applications, including behaviors of Bose-Einstein Condensates (BEC) in optical networks, counterparts of Hong-Ou-Mandel effects for multiple photons, and approximating permanents of matrices. Also, this general bound implies the existence of a polynomial-time randomized algorithm for estimating transition amplitudes of bosons, which represents a solution to an open problem raised by Aaronson and Hance in 2012.

研究动机与目标

• 推导任意线性光学网络中玻色子在所有被动光学元件（包括分束器和相位延迟器）下，Fock态之间过渡振幅的一般解析上界。
• 解决Aaronson与Hance（2012）提出的开放问题：是否存在一个多项式时间随机算法，可对线性光学过渡振幅以±1/poly(n)的加法误差进行估计。
• 将永久量估计算法的应用范围从玻色子采样场景扩展至一般Fock态跃迁，包括多光子Hong-Ou-Mandel效应和光学网络中玻色-爱因斯坦凝聚态的动力学。
• 为线性光学中的过渡振幅与矩阵永久量之间建立理论联系，从而为复矩阵的永久量提供新上界。
• 推广Glynn估计器以用于永久量近似，并在所推导的上界下证明其收敛性，确保以有界误差实现高效采样。

提出的方法

• 利用将玻色子算符多项式函数的真空到真空振幅映射为离散随机变量之和的一般定理，推导出线性光学中Fock态之间过渡振幅绝对值的通用上界。
• 提出一种广义Glynn估计器（mGenGly），用于估计任意复矩阵的永久量，其在特定情况下退化为原始Glynn估计器与Aaronson-Hance估计器。
• 应用该上界证明：当以T = O(1/ε²)次采样来自mGenGly估计器时，可得到对过渡振幅的估计，其误差被限制在±ε × min{v_s / v_t, v_t / v_s}以内，其中v_s与v_t为与Fock态占据数相关的归一化因子。
• 利用切比雪夫不等式控制采样误差，确保估计器在多项式时间O(m²/ε²)内以高概率收敛。
• 建立过渡振幅⟨s|U|t⟩与子矩阵U_{s,t}的永久量之间的直接对应关系，从而通过线性光学振幅采样实现永久量估计。
• 通过将多光子干涉与光学网络中BEC动力学的振幅表达为同一形式，证明该上界在物理场景中具有普适性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意线性光学网络中玻色子的过渡振幅推导出一个与具体分束器和相位延迟器配置无关的通用上界？
• RQ2 所推导的上界是否能实现Aaronson与Hance（2012）所提出的多项式时间随机算法，以±1/poly(n)的加法误差估计线性光学过渡振幅？
• RQ3 广义Glynn估计器能否在多项式数量采样下，以有界误差近似任意复矩阵的永久量？
• RQ4 该上界与多光子Hong-Ou-Mandel效应及光学晶格中玻色-爱因斯坦凝聚态行为等基本量子光学效应有何关联？
• RQ5 该上界能否如Aaronson与Hance所建议的那样，扩展至对非负矩阵的永久量估计算法实现去随机化？

主要发现

• 推导出线性光学中过渡振幅的通用上界：|⟨s|U|t⟩| ≤ min{v_s / v_t, v_t / v_s}，其中v_s与v_t为依赖于Fock态占据数的归一化因子。
• 该上界使多项式时间随机算法能够以±ε × min{v_s / v_t, v_t / v_s}的加法误差估计过渡振幅，从而解决了Aaronson与Hance（2012）的开放问题。
• 该算法需要O(1/ε²)次采样，每次采样耗时O(m²)，总运行时间为O(m²/ε²)，在模式数m上为多项式时间。
• 引入广义Glynn估计器（mGenGly），并证明其在所推导上界下，可对任意复矩阵W的永久量进行估计，误差被限制在±ε × ||W||^m × v_s² × ∏(s_k^{s_k} t_k^{t_k})^{1/2}以内。
• 该方法建立了线性光学过渡振幅与矩阵永久量之间的直接联系，表明在该形式体系下G(U,s,t) = Perm(U_{s,t})。
• 该上界不仅适用于玻色子采样，还可推广至多光子干涉与光学网络中玻色-爱因斯坦凝聚态动力学，如通过其在公式(4)与(5)中的应用所证实。