[论文解读] Universal compiling and (No-)Free-Lunch theorems for continuous variable quantum learning

Tyler Volkoff, Zoë Holmes+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 77被引用 37

一句话总结

本文提出了一套通用的、短深度的连续变量（CV）量子编译算法，通过使用高斯测量和纠缠资源态，实现对任意酉操作的学习。推导出无免费午餐（NFL）定理，表明训练态中的纠缠可实现训练数据需求的指数级减少——对于使用纠缠相干- Fock 态的高斯酉操作，训练数据需求线性减少；对于使用两模压缩态的一般酉操作，训练数据需求呈指数级减少，为CV设置下的量子学习效率提供了根本性限制。

ABSTRACT

Quantum compiling, where a parameterized quantum circuit is trained to learn a target unitary, is an important primitive for quantum computing that can be used as a subroutine to obtain optimal circuits or as a tomographic tool to study the dynamics of an experimental system. While much attention has been paid to quantum compiling on discrete variable hardware, less has been paid to compiling in the continuous variable paradigm. Here we motivate several, closely related, short depth continuous variable algorithms for quantum compilation. We analyse the trainability of our proposed cost functions and numerically demonstrate our algorithms by learning arbitrary Gaussian operations and Kerr non-linearities. We further make connections between this framework and quantum learning theory in the continuous variable setting by deriving No-Free-Lunch theorems. These generalization bounds demonstrate a linear resource reduction for learning Gaussian unitaries using entangled coherent-Fock states and an exponential resource reduction for learning arbitrary unitaries using Two-Mode-Squeezed states.

研究动机与目标

• 开发适用于连续变量（CV）量子系统的通用、短深度量子编译算法，能够学习任意目标酉操作。
• 解决与离散变量系统相比，CV量子编译缺乏系统性框架的问题。
• 通过无免费午餐（NFL）定理，建立CV设置下量子学习的根本限制。
• 证明训练态中的纠缠可显著减少所需训练数据，从而在学习效率上实现“免费午餐”。
• 通过从NFL定理推导出的解析泛化界，将所提出的代价函数与量子学习理论联系起来。

提出的方法

• 提出一种基于参数化CV电路的变分量子编译框架，通过基于目标酉与编译酉之间希尔伯特-施密特内积的代价函数进行训练。
• 采用高斯测量和资源态（如相干态、 Fock 态、两模压缩态）以实现高效学习，无需使用奇特的探测态。
• 引入一种代价函数，利用CV设置下贝尔态的回弹特性，通过受控交换电路估计酉操作保真度。
• 通过分析随机酉操作上的期望风险，利用哈尓分布的正交矩阵和纯高斯态协方差矩阵的积分，推导出CV学习的NFL定理。
• 使用向量化算子和等距性质，将矩阵范数转化为向量范数，从而实现对正交群上期望风险的解析计算。
• 应用群积分技术（如O(2m)上的哈尔测度），计算涉及正交矩阵的二次型期望，得到期望风险量级的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为连续变量量子系统开发出能够学习任意酉操作的通用、短深度量子编译算法？
• RQ2 所提出的CV编译代价函数的可训练性在多大程度上依赖于资源态和测量方案的选择？
• RQ3 学习CV酉操作的根本限制是什么？这些限制如何随训练数据点数量变化？
• RQ4 在CV设置下，训练态中的纠缠在多大程度上能减少学习未知酉操作所需的训练数据？
• RQ5 所推导的NFL定理如何量化CV量子学习中泛化所需的最小训练数据？

主要发现

• 所提出的CV编译算法在数值模拟中成功以高保真度学习了任意单模高斯酉操作、广义分束器和Kerr非线性。
• 对于学习高斯酉操作，使用纠缠相干-Fock态相比分离态可实现训练数据需求的线性减少，NFL定理显示风险表达式中存在|S|的缩放关系。
• 对于学习任意酉操作，使用两模压缩态可实现训练数据需求的指数级减少，风险缩放为(D−D⁻¹)²|S|²，表明对训练集大小呈二次依赖。
• 对于高斯训练数据，NFL定理中的期望风险缩放为D²−D⁻² / (4 log D)减去与|S|²成比例的校正项，表明更大的训练集可显著降低泛化误差。
• NFL定理表明，训练态中的纠缠通过实现数据需求的指数级减少，提供了“免费午餐”，在最优态制备下，风险随|S|²而非|S|减小。
• 解析框架证实，所提出的代价函数在量子学习理论中具有充分依据，因其与NFL定理推导出的最小数据需求完全一致。