[论文解读] Universal construction for the unsorted quantum search algorithms

Xijia Miao|ArXiv.org|Jan 26, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 39被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于多量子算符代数形式的通用量子搜索算法，通过将指数演化算符分解为量子 oracle 幺正操作（具体为选择性相位移和非选择性幺正操作），构建了一个真实的量子搜索网络。关键结果是该算法的计算复杂度取决于数值多维积分，且借助高效的积分方法（如 Hua-Wang 方法），相信其可在 oracle 通用量子计算机上以多项式时间解决无序搜索问题。

ABSTRACT

The multiple-quantum operator algebra formalism has been exploited to construct generally an unsorted quantum search algorithm. The exponential propagator and its corresponding effective Hamiltonian are constructed explicitly that describe in quantum mechanics the time evolution of a multi- particle two-state quantum system from the initial state to the output of the unsorted quantum search problem. The exponential propagator usually may not be compatible with the mathematical structure and principle of the search problem and hence is not a real quantum search network, but it can be further decomposed into a product of a series of the oracle unitary operations such as the selective phase-shift operations and the nonselective unitary operations which can be expressed further as a sequence of elementary building blocks such as one-qubit quantum gates and the two-qubit diagonal phase gates, resulting in that the decomposed propagator is compatible with the mathematical structure and principle of the search problem and thus, becomes a real quantum search network. The decomposition for the propagator can be achieved with the help of the operator algebra structure and symmetry of the effective Hamiltonian, and the properties of the multiple-quantum operator algebra spaces, especially the characteristic transformation behavior of the multiple-quantum operators under the z-axis rotations. It has been shown that the computational complexity of the search algorithm is dependent upon that of the numerical multidimensional integration and hence it is believed that the search algorithm could solve efficiently the unsorted search problem. An NMR device is also proposed to solve efficiently the unsorted search problem in polynomial time.

研究动机与目标

• 开发一种与量子力学原理相容的通用、通用的无序量子搜索算法构造方法。
• 通过将不兼容的指数演化算符分解为物理可实现的幺正操作，克服其与搜索问题数学结构的不兼容性。
• 证明该算法的计算复杂度依赖于数值多维积分，表明其具有多项式时间效率的潜力。
• 提出基于相位循环与 Trotter-Suzuki 分解的 NMR 装置及 oracle 通用量子计算机上的实际实现方案。
• 探讨量子计算机是否能通过大规模量子并行性高效解决一般 NP 问题，特别是无序搜索问题。

提出的方法

• 利用多量子算符代数形式描述多粒子两态量子系统从初始态到目标态的时间演化。
• 构建指数演化算符及其对应的等效哈密顿量，以模拟无序搜索过程的理想时间演化。
• 将不兼容的演化算符分解为一系列量子 oracle 幺正操作，包括选择性相位移和非选择性幺正操作。
• 使用基本构建模块（单量子比特量子门和双量子比特对角相位门）表达分解后的演化算符。
• 利用多量子算符在 z 轴旋转下的特征变换行为，实现相位循环与高效分解。
• 依赖 Trotter-Suzuki 理论与数值多维积分近似等效哈密顿量，其中格点数量对效率至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个在数学上一致且物理上可实现的通用量子搜索算法？
• RQ2 如何将不兼容的指数演化算符分解为物理可实现的幺正操作，以构建量子搜索网络？
• RQ3 该算法的计算复杂度对数值积分的依赖关系如何？是否可实现多项式时间复杂度？
• RQ4 所提出的算法能否在基于 NMR 的量子计算机或 oracle 通用量子计算机上高效实现？
• RQ5 该方法是否能实现无序搜索问题的多项式时间求解，从而暗示更广泛的 NP 完全问题具有高效求解潜力？

主要发现

• 尽管指数演化算符能正确描述时间演化，但其与无序搜索问题的数学结构不兼容，因此并非真正的量子搜索网络。
• 该演化算符可成功分解为一系列选择性相位移与非选择性幺正操作，这些操作与量子力学原理相容，并构成一个真实的量子搜索网络。
• 该算法的计算复杂度主要由近似等效哈密顿量所需的多维数值积分复杂度决定。
• 借助高效的积分方法（如 Hua-Wang 数论方法），格点数量不会随维度呈指数增长，表明具有多项式时间可行性。
• 该算法可通过直接实现量子 oracle 幺正操作，在 NMR 器件上实现，将无序搜索问题转化为多项式时间内可解的背包问题。
• 所提出的量子网络 U_S 相信是 oracle 通用量子计算机上高效的量子搜索网络，支持在多项式时间内求解一般 NP 问题的可能性。